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| Aufgabe | Leite folgenden Term ab und kürze so weit wie möglich:
[mm]\bruch{-x^2 + a^2}{(x^2 + a^2)^2}[/mm]
Die Lösung auf meinem Blatt lautet wie folgt:
[mm]\bruch{2*x^3 - 6*x*a^2}{(x^2 + a^2)^3}[/mm]
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# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe es mehrere Stunden mit kürzen und ausklammern versucht, komme jedoch nicht auf oben stehendes Ergebnis.
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> Du musst hier auf jeden Fall mit der Quotientenregel
> arbeiten. Und außerdem solltest Du im Nenner keinesfalls
> ausmultiplizieren (auch nicht in der Ableitung).
Dass man die Quotientenregel anwenden muss, liegt nahe (weil x im Nenner steht und sich das nicht wegkürzen lässt).
Aber woran erkennt man, dass man den Nenner nicht ausmultiplizieren darf? Dann fiele auf jeden Fall dieses "Klammer zum Quadrat" weg, und die Ableitungen ließen sich gegebenenfalls leichter bilden.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:22 Do 19.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ralph!
Das sit grundsätzlich ein Tipp, den Nenner nur im "äußersten Notfall" auszumultiplizieren. Gerade bei gebrochen-rationalen Funktion kann man spätestens mit der 2. Ableitung kürzen.
Gruß
Loddar
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> Leite folgenden Term ab und kürze so weit wie möglich:
> [mm]\bruch{-x^2 + a^2}{(x^2 + a^2)^2}[/mm]
>
> Die Lösung auf meinem Blatt lautet wie folgt:
> [mm]\bruch{2*x^3 - 6*x*a^2}{(x^2 + a^2)^3}[/mm]
>
> Ich habe es mehrere Stunden mit kürzen und ausklammern
> versucht, komme jedoch nicht auf oben stehendes Ergebnis.
In kleinen Schritten vorgerechnet:
[mm] \begin{array}{rcll}
\left(\frac{-x^2+a^2}{(x^2+a^2)^2}\right)' &=& \frac{(-x^2+a^2)'\cdot (x^2+a^2)^2-(-x^2+a^2)\cdot \big((x^2+a^2)^2\big)'}{\big((x^2+a^2)^2\big)^2} &\text{Quotientenregel}\\[.2cm]
&=& \frac{(-2x)\cdot(x^2+a^2)^2-(-x^2+a^2)\cdot 2(x^2+a^2)\cdot 2x}{(x^2+a^2)^4} &\text{Faktoren ableiten}\\[.2cm]
&=& \frac{\left[-2x^3-2a^2x+4x^3-4a^2x\right]\cdot (x^2+a^2)}{(x^2+a^2)^4} &\text{ausklammern+ausmultiplizieren}\\[.2cm]
&=& \frac{2x^3-6a^2x}{(x^2+a^2)^3} &\text{kürzen und einsammeln}
\end{array}
[/mm]
Bitte versuche herauszufinden, was denn bei Deinen eigenen Berechnungen anders / falsch gelaufen ist.
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Ich rechne das nochmal durch. Ich habe nicht gesehen dass man [mm](x^2+a^2)^2[/mm] ausklammern kann. Vielen dank!
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>
> In kleinen Schritten vorgerechnet:
> [mm]\begin{array}{rcll}
\left(\frac{-x^2+a^2}{(x^2+a^2)^2}\right)' &=& \frac{(-x^2+a^2)'\cdot (x^2+a^2)^2-(-x^2+a^2)\cdot \big((x^2+a^2)^2\big)'}{\big((x^2+a^2)^2\big)^2} &\text{Quotientenregel}\\[.2cm]
&=& \frac{(-2x)\cdot(x^2+a^2)-(-x^2+a^2)\cdot 2(x^2+a^2)\cdot 2x}{(x^2+a^2)^4} &\text{Faktoren ableiten}\\[.2cm]
&=& \frac{\left[-2x^3-2a^2x+4x^3-4a^2x\right]\cdot (x^2+a^2)}{(x^2+a^2)^4} &\text{ausklammern+ausmultiplizieren}\\[.2cm]
&=& \frac{2x^3-6a^2x}{(x^2+a^2)^3} &\text{kürzen und einsammeln}
\end{array}[/mm]
wo ist denn das ^2 bei [mm] (x^2+a^2) [/mm] in der zweiten Zeile hin? Womit wurde das denn weggekürzt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:31 Do 09.08.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
in der 2. Zeile ist das Quadrat einfach vergessen, in der 3. Zeile ists wieder richtig.
Gruss leduart
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> >
> > In kleinen Schritten vorgerechnet:
> > [mm]\begin{array}{rcll}
\left(\frac{-x^2+a^2}{(x^2+a^2)^2}\right)' &=& \frac{(-x^2+a^2)'\cdot (x^2+a^2)^2-(-x^2+a^2)\cdot \big((x^2+a^2)^2\big)'}{\big((x^2+a^2)^2\big)^2} &\text{Quotientenregel}\\[.2cm]
&=& \frac{(-2x)\cdot(x^2+a^2)-(-x^2+a^2)\cdot 2(x^2+a^2)\cdot 2x}{(x^2+a^2)^4} &\text{Faktoren ableiten}\\[.2cm]
&=& \frac{\left[-2x^3-2a^2x+4x^3-4a^2x\right]\cdot (x^2+a^2)}{(x^2+a^2)^4} &\text{ausklammern+ausmultiplizieren}\\[.2cm]
&=& \frac{2x^3-6a^2x}{(x^2+a^2)^3} &\text{kürzen und einsammeln}
\end{array}[/mm]
>
> wo ist denn das ^2 bei [mm](x^2+a^2)[/mm] in der zweiten Zeile hin?
Ich hab's korrigiert: vielen Dank für die genaue Korrekturlesung! - Nur komisch, dass dies in der damaligen Diskussion niemandem aufgefallen ist. Natürlich: in dem relativ unübersichtlichen LaTeX-Salat von Zeichen ist es leicht, einen solchen Fehler zu begehen. Und bekanntlich ist man oft blind für kleine Fehler, wenn man im Prinzip dar richtige im Kopf (oder auf einem Notizzettel neben sich stehen) hat.
> Womit wurde das denn weggekürzt?
Gar nicht: war vermutlich Fehler beim Abschreiben von meinem Notizzettel.
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Hallo,
die Diskussion über die Eingabe v. mathematischen Formeln, welche sich an dieser Stelle entspann, ist vorschoben ins Cafe.
Gruß v. Angela
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
Quotientenregel
