Ableitung von Funktionenfolge < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 14:48 Sa 28.01.2006 | | Autor: | smee |
| Aufgabe | Eine Funktionenfolge [mm] $f_{n}: \IR \rightarrow \IR$ [/mm] ist definiert durch:
[mm] $f_{0}(x) [/mm] := x$ und [mm] $f_{n}(x) [/mm] = [mm] \frac{\pi}{2}cos(f_{n-1}(x))$ [/mm] für $n [mm] \in \IN$
[/mm]
(a) Berechne $f'_{n}(0)$ für alle $n [mm] \in \IN_{0}$
[/mm]
(b) Finde ein $x [mm] \in \IR$, [/mm] so dass die Folge [mm] $(f_{n}(x))_{n}$ [/mm] nicht konvergiert. |
Hallo!
Ich würde mich freuen, wenn einer mal über meine Lösung blicken könnte. Ich bin ich mir an einer Stelle nicht ganz sicher, ob ich so ableiten darf, wie ich's gemacht habe ...
Also zuerst habe ich durch Vollst. Ind. gezeigt, dass:
[mm] $f_{2n+1}(0) [/mm] = [mm] \frac{\pi}{2}$ [/mm] und [mm] $f_{2n}(0) [/mm] = 0$ für alle n.
Dann habe ich abgeleitet:
$f'_{n}(x) = [mm] -\frac{\pi}{2}sin(f_{n-1}(x)) [/mm] * f'_{n-1}(x)$
... also einfach mit Kettenregel; ich bin mir aber nicht sicher, ob ich das bei rekursiv definierten Funktionenfolgen einfach so machen darf?
Mit dem, was ich oben bewiesen hatte, kann ich dann einfach mit Fallunterscheidung zeigen, dass bei ungeraden n der linke Faktor 0 ist (sin(...)), bei geraden der rechte (die Ableitung).
Also wäre dann: $f'_{n}(0) = 0$ [mm] $\forall [/mm] n [mm] \in \IN_{0}$
[/mm]
Ist das so korrekt, oder hab' ich es mir irgendwo zu leicht gemacht?
Zu b) (Habe ich gerade noch ergänzt ...)
Ich habe ja bereits gezeigt, dass die Folge für x=0 zwischen [mm] \frac{\pi}{2} [/mm] und 0 alterniert und demnach nicht konvergiert ... Es steht auch tatsächlich nur auf dem Übungsblatt: "Finde _ein_ x".
Gruß,
Carsten
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:26 Mo 30.01.2006 | | Autor: | matux |
Hallo Carsten!
Leider konnte Dir keiner mit Deinem Problem in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
Allgemeine Tipps wie du dem Überschreiten der Fälligkeitsdauer entgegenwirken kannst findest du in den Regeln für die Benutzung unserer Foren.
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