Ableitung von Produkten < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 Mo 31.08.2009 | | Autor: | Keromida |
| Aufgabe 1 | Die Funktion g ist dreimal differenzierbar. Bestimmen sie f'(x) und f''(x).
f(x)=x² * g(x) |
| Aufgabe 2 | [mm] (\bruch{1}{g(x0)})'
[/mm]
Ich soll diese Funktionen ableiten. Jedoch nur wie?
limes x [mm] \to [/mm] x0
ableiten. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 Mo 31.08.2009 | | Autor: | Keromida |
Dazu hab ich mal eine Frage. Wie wäre das wenn man es mit der Ketten und Produktregel löst?
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Hallo nochmal,
> Dazu hab ich mal eine Frage. Wie wäre das wenn man es mit
> der Ketten und Produktregel löst?
Du benötigst für die erste Ableitung nur die Produktregel:
[mm] $f(x)=u(x)\cdot{}v(x)\Rightarrow f'(x)=u'(x)\cdot{}v(x)+u(x)\cdot{}v'(x)$
[/mm]
Hier mit [mm] $u(x)=x^2$ [/mm] und $v(x)=g(x)$
Rechne es mal aus, dann hast du auch ne gute Kontrolle, ob das mühsame Ergebnis über den GW des Differenzenquotienten richtig ist ... 
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Mo 31.08.2009 | | Autor: | Keromida |
das primäre Problem ist bei mir folgendes. Was ist die Ableitung von g(x)? Ist das auch g(x) also wird das nicht verändert, oder ist es doch ganz anders?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:10 Mo 31.08.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Keromida!
Die Ableitung von $g(x)_$ lautet $g'(x)_ $ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Mo 31.08.2009 | | Autor: | Keromida |
das heißt die aufgabe würde wie folgt lauten:
[mm] f'(x)=x^{2}\*g'(x)+2x\*g(x)
[/mm]
und wie löst sich das auf? also wie verrechnet man die g(x) und g'(x) mit x² und 2x?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:26 Mo 31.08.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Keromida!
> das heißt die aufgabe würde wie folgt lauten:
>
> [mm]f'(x)=x^{2}\*g'(x)+2x\*g(x)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig.
> und wie löst sich das auf? also wie verrechnet man die
> g(x) und g'(x) mit x² und 2x?
Gar nicht. Das kann man nicht weiter zusammenfassen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 Mo 31.08.2009 | | Autor: | Keromida |
Wie soll ich dann daraus die 2 Ableitung bilden?
ist das dann wie folgt:
f''(x)=2 * g(x) + x² * g''(x)
ist das richtig so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:29 Mo 31.08.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Keromida!
Analog zur 1. Ableitung. Nur dass Du nun zwei unterschiedliche Term mit [mm] $x^2*g'(x)$ [/mm] und $2x*g(x)_$ betrachten musst.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Mo 31.08.2009 | | Autor: | Keromida |
also ist dann folgendes richtig?
f''(x)=2 * g(x) + [mm] x^2 [/mm] * g''(x)
wäre das die richtige antwort?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:33 Mo 31.08.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Keromida!
Nein, das stimmt nicht, da Du Dich nicht an meinen letzten Tipp gehalten hast.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Mo 31.08.2009 | | Autor: | Keromida |
also wäre demnach dann richtig
f''(x)= 2 * g'(x) + 2x * g''(x)
oder täusche ich mich wieder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:37 Mo 31.08.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Keromida!
Das ist immer noch nicht richtig. Betrachte doch zunächst [mm] $x^2*g'(x)$ [/mm] separat.
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:41 Mo 31.08.2009 | | Autor: | Keromida |
wenn ich das ableite, kann ich mir nichts anderes vorstellen als
2x * g''(x)
Wenn das jetzt auch noch falsch ist dann hab ich echt keine Ahnung, dann musst du mir es erklären.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:45 Mo 31.08.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Keromida!
Eine Gegenfrage: wie bist Du denn auf die (korrekte) 1. Ableitung gekommen?
Denn genauso geht es dann auch für die 2. Ableitung.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:48 Mo 31.08.2009 | | Autor: | Keromida |
Das ist ja einfach.
f(x)= u * v' + u' * v
f(x)= 2x * g(x) + [mm] x^2 [/mm] * g'(x)
ab hier kann man das ja nicht weiter zusammen fassen.
Deshalb hab ich einfach von dem Standpunkt aus weiter abgeleitet, aber jedoch falsch.
Das einzige was ich mir vorstellen könnte, wäre das man die einzelnen Variablen wieder aufteilen muss, ableiten und danach wieder zusammenfügen, wie in der 1 Ableitung.
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Hallo Keromida,
die zweite Aufgabe ist im Grunde einfacher als die erste, da du nicht auf den Trick kommen musst, eine "nahrhafte Null" zu addieren - wie Loddar es in seiner Antwort erwähnt hat.
Stelle einfach mal den Differenzenquotienten auf und fasse zusammen (gleichnamig machen ...); es läuft alles auf elementare Bruchrechnung heraus.
[mm] $\frac{\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{g(x_0)}}{x-x_0}=\frac{g(x_0)-g(x)}{(x-x_0)\cdot{}g(x)\cdot{}g(x_0)}=...$
[/mm]
Du musst bei derartigen Aufgaben zusehen, dass du durch Umformungen auf irgendwas mit [mm] $\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}$ [/mm] kommst.
Dann kannst du die Differenzierbarkeit von $g$ ausnutzen, denn der [mm] $\lim\limits_{x\to x_0}$ [/mm] dieses Bruches existiert ja und ist [mm] $=g'(x_0)$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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> Die Funktion g ist dreimal differenzierbar. Bestimmen sie
> f'(x) und f''(x).
>
> f(x)=x² * g(x)
>
> [mm](\bruch{1}{g(x0)})'[/mm]
> Ich soll diese Funktionen ableiten. Jedoch nur wie?
>
> limes x [mm]\to[/mm] x0
>
> ableiten.
Hallo Keromida,
Falls in der zweiten Frage wirklich die Ableitung
von [mm] \bruch{1}{g(x_0)} [/mm] nach der Variablen x gefragt ist, so ist
die Antwort:
[mm] $\left(\bruch{1}{g(x_0)}\right)'\ [/mm] =\ 0$
Ist hingegen die Ableitung der Funktion [mm] x\mapsto\bruch{1}{g(x)}
[/mm]
an der Stelle [mm] x_0 [/mm] gefragt, so ist das Ergebnis
ein ganz anderes, nämlich
[mm] $\left(\bruch{1}{g(x)}\right)'\, \big{|}_{x=x_0}\ [/mm] =\ [mm] -\,\frac{g'(x_0)}{\left(g(x_0)\right)^2}$ [/mm]
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 Mo 31.08.2009 | | Autor: | Keromida |
könntest du mir das mal in einzelschritten erklären?
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> könntest du mir das mal in Einzelschritten erklären?
Wenn [mm] x_0 [/mm] ein konstanter, vorgegebener x-Wert ist,
dann ist die Funktion f, welche jeder reellen
Zahl den Funktionswert [mm] \frac{1}{g(x_0)} [/mm] zuordnet:
$\ f(x)\ =\ [mm] \frac{1}{g(x_0)}\ [/mm] =\ C$ [mm] (g(x_0)\not=0 [/mm] sei vorausgesetzt)
eine konstante Funktion. Deren Ableitung ist überall
gleich Null.
Ist hingegen $\ f(x)\ =\ [mm] \frac{1}{g(x)}$ [/mm] , so ist dies eine ganz
andere Funktion, und für ihre Ableitung braucht
man z.B. die Quotienten- und die Kettenregel.
Schönen Abend ! Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 Mo 31.08.2009 | | Autor: | Keromida |
die wie im detail lauten würde?
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
Produktregel![[]](/images/popup.gif){kind=small}
hier![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
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