Ableitung von Sinus/Kosinus < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe |
Bereiten sie einen kurzvortrag über die Sinus - und die Kosinusfunktion vor!
4. Wie heißt (und wie entsteht) die erste Ableitung dieser Funktionen?
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Ich hab mir bereits bei ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia die Ableitung angeschaut aber als absolute Matheniete ist die für mich sogut wie garnicht nachvollziehbar.
Ich wäre euch dankbar wenn ihr mir die Ableitungen herleiten und mit einfachen Worten erklären könntet, so dass auch ein Laie sie versteht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:54 Sa 06.05.2006 | | Autor: | chrisno |
Vielleicht bekommst Du ja noch mehr Hinweise.
Als Minimalprogramm schlage ich vor:
Den Sinus und Cosinus im Bogenmaß zeichnen / plotten.
Nun mit einem Lineal an etlichen Stellen die Tangente einzeichnen und die Steigung zeichnerisch bestimmen. Auf jeden Fall die Tangenten bei den Vielfachen von [mm] $\frac{\pi}{4}$ [/mm] einzeichnen.
Wenn Du das für den Sinus machst, dann sollten als Steigung immer genau die Werte des Cosinuns für das gleiche x herauskommen.
Für die Tangenten am Cosinus sollten immer die Werte vom Sinus, bloß mit einem Minuszeichen davor, herauskommen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:46 So 07.05.2006 | | Autor: | Fulla |
hi klagelied!
ich hätte folgenden vorschlag:
über die komplexen zahlen kann man sinus und cosinus auch so definieren:
[mm] sin(z)=\bruch{1}{2i}(e^{iz}-e^{-iz}), [/mm] bzw. [mm] cos(z)=\bruch{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz}).
[/mm]
man kann zwar so z.b. nicht [mm] sin(\bruch{\pi}{2}) [/mm] ausrechen, aber zur beweisführung ist diese art der darstellung sehr gut geeignet!
wenn du obige formeln ableitest, kommst du auf sin'(z)=cos(z) und cos'(z)=-sin(z)....
wenn dir das mit den komplexen zahlen zu abstrakt ist, kannst du auch versuchen, forlgende definition zu verwenden:
[mm] sin(x)=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!} [/mm] bzw. [mm] cos(x)=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{x^{2n}}{(2n)!} [/mm]
ich hoffe, ich konnte dir etwas weiterhelfen!
liebe grüße,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:23 Mo 08.05.2006 | | Autor: | vicious |
Hallo Klagelied...
Wenn du es ganz einfach haben möchtest, dann erklär sin und cos an einem Einheitskreis
http://www.briegel-online.de/mathe/m10/sinuscosinus.htm (hoffentlich darf man hier einen Link reinsetzen...)
Die Ableitung vom sinus ist der cosinus....da wo der sinus einen Hoch-oder Tiefpunkt oder allgemein Extremum hat, da ist der cosinus 0.
Dazu kommt dann noch die Kettenregel, wenn man z.B. sin(2x) ausrechnen will.
Viel Spass:)
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Schau dir mal die Funktionsgraphen an: Sinusfunktion sowie Cosinusfunktion.
Und die anschauliche Erklärung der Ableitung ist: Für jeden Punkt der Funktion wird die Steigung "eingetragen". Z. B. Ist die Steigung der Sinusfunktion an der Stelle x=0 genau 1 (der Winkel ist 45°, also geht es in X-Richtung "genausoweit" wie in Y-Richtung. Also [mm] \bruch{y}{x}=1 [/mm] ). Das ist "zufälligerweise" genau der Funktionswert der Cosinusfunktion. Schau dir andere Punkte an, und letztlich kommt heraus, dass die Ableitung von Sinus gleich Cosinus ist. Das ist natürlich so nicht mathematisch rigoros, aber das wird vermutlich von dir auch nicht erwartet, oder (sonst könntest du die anderen Erklärungen nutzen mit Kreisfunktion oder Exponentialschreibweise)?
Genau das Gleiche kannst du mit dem Cosinus machen, da kommt dann als Ableitung -sin{x} raus.
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![[]](http://de.wikipedia.org/wiki/Bild:Sin_1to1.png){kind=small}
Sinusfunktion![[]](http://de.wikipedia.org/wiki/Bild:Cos_1to1.png){kind=small}
Cosinusfunktion