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Forum "Schul-Analysis" - Ableitung von exp(x) (Beweis)
Ableitung von exp(x) (Beweis) < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Ableitung von exp(x) (Beweis): Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:02 Sa 30.10.2004
Autor: farnsworth

Hallo Leute,

vielleicht eine etwas dämlcihe Frage, aber wie kann man MÖGLICHST EINFACH zeigen dass die Ableitung von [mm] f(x)=e^x [/mm] wieder [mm] e^x [/mm] ist.

Mir ist klar, dass die Ableitung klassisch so berechnet werden kann:
[mm] \limes_{h\rightarrow\0} \bruch{e^{x+h}-e^{x}}{h}=e^{x} \limes_{h\rightarrow\0}\bruch{e^{h}-1}{h} [/mm]

Wie bekomme ich aber jetzt diesen (letzten) verrückten Term zu 1 ?


Wenn ich statt [mm] \limes_{h\rightarrow\0}(h) [/mm] lieber  [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(n) [/mm] von verwende (also eine spezielle Nullfolge einsetze) ergibt sich doch:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{e^{1/n}-1}{1/n} [/mm]
Dies müsste dann gleich 1 sein. Wie zeige ich das möglichst einfach ?

Danke schonmal fürs Kopfrauchen...


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
Ableitung von exp(x) (Beweis): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:37 Sa 30.10.2004
Autor: Hanno

Hallöle!

Ich würde es mit logarithmischer Differentiation zeigen:
[mm] $f(x)=e^x$ [/mm] Logarithmieren
[mm] $ln(f(x))=ln(e^x)=x\cdot [/mm] ln(e)$ Ableiten
[mm] $\frac{f'(x)}{f(x)}=ln(e)$ [/mm]
[mm] $\gdw f'(x)=ln(e)\cdot f(x)=1\cdot e^x=e^x$. [/mm]

Ich hoffe mal, dass ich nichts verwendet habe, was ich nicht durfte.

Liebe Grüße,
Hanno

Bezug
                
Bezug
Ableitung von exp(x) (Beweis): Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:02 Sa 30.10.2004
Autor: farnsworth

Hallo Hanno,

vielen Dank für Deine schnelle Antwort. Das ist ja wirklich kurz und bündig.

Leider verstehe ich (oh, je !!!) noch nicht Zeile nach dem Ableiten.
Besonders die linke Seite: Wo kommt denn [mm] \bruch{f'(x)}{f(x)} [/mm] her ?

Danke schonmal.


Bezug
                        
Bezug
Ableitung von exp(x) (Beweis): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:24 Sa 30.10.2004
Autor: Frosty

Hallo,

Ich weiß auch nicht genau, wie man darauf kommt, aber Du kannst Dir ja mal diesen kleinen Abschnitt über "logarithmische Differentiation" (ich habe das vorher auch noch nie gehört):

[]http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/aussage/aussage170/

Vielleicht hilft Die das ja weiter.

Bernhard

Bezug
                                
Bezug
Ableitung von exp(x) (Beweis): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:46 Sa 30.10.2004
Autor: farnsworth

Arrgh! Ich TROTTEL !!!!

Kettenregel natürlich !!!

Vielen Dank euch beiden.

Bezug
        
Bezug
Ableitung von exp(x) (Beweis): anmerkung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:32 Sa 30.10.2004
Autor: andreas

hi

um den grenzwert [m] \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} [/m] zu berechnen kann man auch so vorgehen, dass man [m] \exp(h)[/m] durch seine potenzreihe [m] \sum_{k=0}^\infty \frac{h^k}{k!} [/m] ersetzt - insofern ihr [m] e^h [/m] so definiert habt oder diese darstellung bewiesen habt.
bei der verwendung der logarithmischen ableitung besteht nämlich die gafahr, dass man sich im kreis dreht!


grüße
andreas

Bezug
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