Ableitung von ln-Funktionen < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:14 Mo 02.06.2008 | | Autor: | PeterR |
| Aufgabe | | Leiten Sie die Funktionen ab. |
Hallo!
Ich habe folgende Funkt. abgeleitet und würde gern wissen, ob die Ergebnisse stimmen.
f(x)=ln(2x)
[mm] f'(x)=\bruch{1}{x}
[/mm]
f(x)=(x²+1)
[mm] f'(x)=\bruch{2}{x+1}
[/mm]
f(x)=xlnx
[mm] f'(x)=(1*lnx)+(x*\bruch{1}{x})=lnx+(x*\bruch{1}{x})
[/mm]
f(x)=(lnx)²
[mm] f'(x)=\bruch{2}{x}
[/mm]
f(x)=lnx²
[mm] f'(x)=\bruch{2}{x}
[/mm]
Gruß,
Peter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Mo 02.06.2008 | | Autor: | PeterR |
Zum ersten Fehler: Ja, sollte natürlich ln heißen, hab ich versehentlich vergessen einzutippen. Ich glaub auch zu wissen, wo dort mein Fehler liegt - ich hätte das x nicht rauskürzen dürfen, weils in einer Summe steht. Also müsste die Ableitung so lauten:
[mm] \bruch{2x}{x²+1}
[/mm]
Zum zweiten Fehler: Dachte mir schon, dass die nicht stimmt. Wenn ich die äußere mal die innere Ableitung ausrechne, komme ich auf folgendes Ergebnis:
[mm] 2lnx*\bruch{1}{x}
[/mm]
Stimmt das jetzt, oder muss das ln noch irgendwie verschwinden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:38 Mo 02.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Peter!
Nun stimmt's ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Mo 02.06.2008 | | Autor: | PeterR |
In Ordnung, danke!
Ich hab mir nun mal die Mühe gemacht noch jeweils die zweite und dritte Ableitung aller Funktionen aufzuschreiben:
F'(x)=1/x
F''(x)=-1/x²
F'''(x)= -2/x³
[mm] F'(x)=\bruch{2x}{x²+1}
[/mm]
[mm] F''(x)=\bruch{2x²+2-4x}{(x²+1)²}
[/mm]
[mm] F'''(x)=\bruch{4x³-8x²+12x-8}{(x²+1)³} [/mm] hier hab ich mich sicherlich verzettelt, vermutlich schon bei f''(x), hab den Fehler aber nicht gefunden.
F'(x)=lnx+1
F''(x)=1/x
F'''(x)=-1/x²
F'(x)=2/x
F''(x)=-2/x²
F'''(x)=-4/x³
F'(x)=2lnx*1/x
Bei der letzten komm ich nicht ganz klar. Da muss ich doch die Produktregel anwenden und komm daher auf
[mm] F''(x)=(\bruch{2}{x}*\bruch{1}{x})+(2lnx*(-\bruch{1}{x²}))
[/mm]
Das müsste ich jetzt zusammenfassen und hätte
[mm] F''(x)=(\bruch{2}{x²})+(-\bruch{1}{x²}(2lnx))
[/mm]
Jetzt weiß ich nicht weiter und ich muss auch zugeben, dass das ziemlich falsch aussieht. ^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:28 Mo 02.06.2008 | | Autor: | PeterR |
Ah, ich hab eben entdeckt, dass ich bei der ersten Funktion schon einen Vorzeichenfehler gemacht. f'''(x) muss 2/x³ heißen.
Arg... und dementsprechen muss es auch bei der 4. Funktion f'''(x)=4/x³ heißen
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Genau 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 Mo 02.06.2008 | | Autor: | PeterR |
Gut, vielen Dank!
Das mit dem Vorzeichenfehler hat sich ja bereits geklärt. ^^
Bleiben noch die beiden anderen. Bei der einen hab ich meinen Fehler schon entdeckt. Hab bei 2x*2x=4x geschrieben statt 4x²
F'''(x) müsste dann lauten:
[mm] \bruch{-4x³+4x²-4x-4}{(x²+1)³}
[/mm]
Schaut irgendwie schon wieder verdächtig unstimmig aus. :/ Diese vielen Vieren machen mir angst.
Und bei der Letzten:
[mm] f'''(x)=\bruch{(2/x*x)-((2-2lnx)*2x))}{x³}
[/mm]
[mm] =\bruch{2-4x+4lnx²}{x³}
[/mm]
Passt das jetzt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:36 Mo 02.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Peter!
> F'''(x) müsste dann lauten:
> [mm]\bruch{-4x³+4x²-4x-4}{(x²+1)³}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Da musst Du nochmal nachrechnen.
Ich habe im Zähler [mm] $4x^3-12x$ [/mm] erhalten.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:43 Mo 02.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Peter!
> Und bei der Letzten: [mm]f'''(x)=\bruch{(2/x*x)-((2-2lnx)*2x))}{x³}[/mm]
Hier fehlt noch einiges ...
$$f'''(x) \ = \ [mm] \bruch{\red{-} \ \bruch{2}{x}*x^{\red{2}}-[2-2\ln(x)]*2x}{x^{\red{4}}} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
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