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| Aufgabe | Bilden Sie zu folgenden Funktionen die erste Ableitung!
1.) [mm] f(x)=(\bruch{1}{2})^{lg x} [/mm] " einhalb hoch lg von x"
2.) f(x)=4^(sin [mm] e^x) [/mm] "4 hoch sin e hoch x"
3.) [mm] f(x)=\wurzel[3]{e^(sin x)} [/mm] "3. Wurzel aus e hoch sin x"
4.) [mm] f(x)=\wurzel{x^2(1-cos^2 x)} [/mm] |
Hallo erstmal!
Ich hab bei diesen Aufgaben einfach das Problem, dass ich nicht mal Ansatzweise weiß wie ich an diese Aufgaben ran gehen soll. Ich weiß einfach nicht wie ich bei den ersten 3 Aufgaben den Exponenten so umforme, sodass ich einfach ableiten kann und die letzte Aufgabe ist für mich auch ein Rätsel. Für ein klein wenig Hilfe wäre ich wirklich dankbar.
Leni-chan
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Hallo Leni-Chan!
Du musst hier jeweils versuchen, diese Funktionen in e-Funktionen umzuwandeln.
$$f(x) \ = \ [mm] \left(\bruch{1}{2}\right)^{\lg(x)} [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ e^{\ln\left(\bruch{1}{2}\right)} \ \right]^{\lg(x)} [/mm] \ = \ [mm] e^{\lg(x)*\ln\left(\bruch{1}{2}\right)} [/mm] \ = \ [mm] e^{-\ln(2)*\lg(x)}$$
[/mm]
Nun mittels  Kettenregel ableiten.
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:36 Do 03.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
erstmal ist es wichtig, dass Du erkennst, dass es sich um Verkettungen von Funktionen handelt. Die Ableitungen von sin(.), cos(.), log(.) etc. sollten Dir geläufig sein.
Dann hilft es sicher auch, wenn man sowas [mm] $\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}$ [/mm] schreibt und dann $x [mm] \mapsto \sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}$ [/mm] "wie üblich" ableitet. Natürlich kann man das auch nochmal herleiten mittels der Exponentialfunktion und Verknüpfungen von Funktionen etc., aber das sollte Dir auch schon bekannt sein.
Bei [mm] $4^{sin(e^{x})}$ [/mm] solltest Du schreiben:
[mm] $4^{sin(e^{x})}=e^{ln(4) *sin(e^{x})}$
[/mm]
Das heißt, [mm] $f(x)=4^{sin(e^{x})}$ [/mm] ist $=(g [mm] \circ [/mm] h)(x)$ mit [mm] $g(x)=e^x$ [/mm] und $h(x)=ln(4) [mm] *sin(e^x)$. [/mm] $g'(h(x))$ ist einfach zu berechnen, um $h'(x)$ zu berechnen, brauchst Du wieder die Kettenregel, denn h ist selbst eine Verknüpfung von (diff'baren) Funktionen (die äußere Funktion ist dort $x [mm] \mapsto [/mm] sin(x)$, die innere $x [mm] \mapsto e^x$)...
[/mm]
Also:
Denke daran, was Du bereits gelernt hast, wie die Ableitungen "elementarer" Funktionen zu bilden sind bzw. welche Du kennst, denke an die Kettenregel, Produktregel etc. und beachte, dass Du evtl. in den Genuss kommst, diese Regeln "kombinieren" zu müssen.
Wenn etwas ganz unklar ist, kannst Du gerne nachfragen, aber Du solltest wenigstens schonmal versuchen, soweit zu rechnen, wie Du kommst. Wenn dann noch Schwierigkeiten oder Unklahrheiten vorhanden sind, kannst Du gerne nochmal nachfragen 
(Fragen dann bitte mit dem Rechenweg, soweit wie Du gekommen bist!)
Gruß,
Marcel
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