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Ableitungen: Aufgabe - Richtig so?

Status:	(Frage) reagiert/warte auf Reaktion
Datum:	15:56 Di 28.06.2005
Autor:	Lilith

Hallo zusammen!
Ich sitz grade an meinem Übungsblatt und bin mir nicht so sicher, ob die Ableitungen und die Definitionsbereiche die ich gebildet habe auch korrekt sind. Es wäre super nett, wenn vielleicht jemand mal drüber gucken könnte.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

1. f (x) =  [mm] \bruch{x}{1 + x²} [/mm]

D = [mm] \IR [/mm]

(mit Quotienten Regel:)
f´ (x) =   [mm] \bruch{1 * (1 + x²) - x * 2x}{(1 + x²)²} [/mm]
=  [mm] \bruch{1 - x²}{(1 + x²)²} [/mm]

2. f (x) =  [mm] \wurzel[5]{ \bruch{1}{1 + x}} [/mm]

D = [ 0,  [mm] \infty) [/mm]

(Mit Ketten und Quotienten Regel:)
f´ (x) =  [mm] \bruch{1}{5} [/mm] * ( [mm] \bruch{1}{1 + x} [/mm] ) [mm] ^{-\bruch{4}{5}} [/mm] *  [mm] \bruch{-1}{(1 + x)²} [/mm]

3. f (x) = (x² + [mm] 1)^{(x² + 1)} [/mm] = exp ((x² + 1) * ln(x² + 1))

D = [mm] \IR [/mm]

(Mit Ketten und Produkt Regel:)
f´ (x) =   exp((x² + 1)  * ln(x² + 1)) * (2x * ln(x² + 1) + (x² + 1) *  [mm] \bruch{1}{x² + 1} [/mm] * 2x
= exp((x² + 1)  * ln(x² + 1)) * (2x * ln(x² + 1) + (x² + 1) *  [mm] \bruch{2x}{x² + 1} [/mm]

4. f (x) = ln(ln(sin(x)))

D = ?

(Mit Ketten Regel:)
f´ (x) =  [mm] \bruch{1}{ln(sin(x))} [/mm] *  [mm] \bruch{1}{sin(x)} [/mm] * cos(x)

Hab ich vielleicht irgenwo übersehen, dass man noch weiter zusammen fassen kann? Und es wäre super, wenn mir jemand nen Tip zum letzten Definitionsbereich geben könnte.

Liebe Grüße,
Lilith

Bezug

Ableitungen: Korrekturen

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	16:23 Di 28.06.2005
Autor:	Roadrunner

Hallo Lilith,

[willkommenmr]

!!

> 1. f (x) =  [mm]\bruch{x}{1 + x²}[/mm]
>
> D = [mm]\IR[/mm]
>
> (mit Quotienten Regel:)
>  f´ (x) =   [mm]\bruch{1 * (1 + x²) - x * 2x}{(1 + x²)²}[/mm]  =   [mm]\bruch{1 - x²}{(1 + x²)²}[/mm]

Stimmt alles!

> 2. f (x) =  [mm]\wurzel[5]{ \bruch{1}{1 + x}}[/mm]
>
> D = [ 0,  [mm]\infty)[/mm]

Was ist denn mit dem Bereich $-1 \ [mm] \le [/mm] \ x \ [mm] \le [/mm] 0$ ??

> (Mit Ketten und Quotienten Regel:)
> f´ (x) = [mm]\bruch{1}{5}[/mm] * ( [mm]\bruch{1}{1 + x}[/mm] ) [mm]^{-\bruch{4}{5}}[/mm] * [mm]\bruch{-1}{(1 + x)²}[/mm]

Aber hier kann man noch etwas zusammenfassen (

Potenzrechnung) ...

> 3. f (x) = (x² + [mm]1)^{(x² + 1)}[/mm] = exp ((x² + 1) * ln(x² + 1))
>
> D = [mm]\IR[/mm]

> (Mit Ketten und Produkt Regel:)
>  f´ (x) =   exp((x² + 1)  * ln(x² + 1)) * (2x * ln(x² + 1)
> + (x² + 1) *  [mm]\bruch{1}{x² + 1}[/mm] * 2x
>  = exp((x² + 1)  * ln(x² + 1)) * (2x * ln(x² + 1) + (x² +
> 1) *  [mm]\bruch{2x}{x² + 1}[/mm]

Hier kann man noch kürzen und evtl. ausklammern ...

> 4. f (x) = ln(ln(sin(x)))
>
> D = ?

Wegen des äußersten ln muß gelten: [mm] $\ln[\sin(x)] [/mm] \ > \ 0$

Daraus folgt auch: [mm] $e^{\ln[\sin(x)]} [/mm] \ = \ [mm] \sin(x) [/mm] \ > \ [mm] e^0 [/mm] \ = \ ...$

Fällt dir was auf?

> (Mit Ketten Regel:)
> f´ (x) = [mm]\bruch{1}{ln(sin(x))}[/mm] * [mm]\bruch{1}{sin(x)}[/mm] * cos(x)

Die Berechnung der Ableitung stimmt, aber sieh' Dir mal den Def.-Bereich genauer an ;-)