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Forum "Exp- und Log-Funktionen" - Ableitungen Exp./Logar.-Fkt.

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Ableitungen Exp./Logar.-Fkt.: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	09:48 Fr 21.03.2008
Autor:	hase-hh

Aufgabe

 Bilde die 1. und 2. Ableitung

f(x) = ln(x+1)

f(x) = [mm] log_{2} [/mm] x + x + 2

f(x) = [mm] log_{3} [/mm] x

f(x) = 2*ln(2x)

f(t) = ln(1+kt)

h(t) = [mm] \bruch{1}{2}*ln(\bruch{t}{3} [/mm] -1)

f(x) = ln b * [mm] log_{b} [/mm] x

f(x) = [mm] e^{2*ln x} [/mm] + [mm] ln(e^{2x})
 [/mm]

f(t) = [mm] \bruch{1}{3}* [/mm] sin(ln t)

Moin,

habe hier ein paar Aufgaben zu e-Funktionen und Logarithmus-Funktionen. Ist das so korrekt?

1. f(x) = ln(x+1)

f ' (x) = [mm] \bruch{1}{x+1}*1 =(x+1)^{-1} [/mm]

f '' (x) = - [mm] \bruch{1}{(x+1)^2}*1 [/mm]

2. f(x) = [mm] log_{2} [/mm] x + x + 2

Kann ich [mm] log_{2} [/mm] x schreiben als [mm] 2^x [/mm] ?

Dann wäre

f(x) = [mm] 2^x [/mm] +x + 2

f ' (x) = ln [mm] 2*2^x [/mm] + 1

f '' (x) = ln 2*ln [mm] 2*2^x [/mm]

3. f(x) = [mm] log_{3} [/mm] x

f(x) = [mm] 3^x [/mm] + [mm] 3^x [/mm]

f ' (x) = 2*ln [mm] 3*3^x [/mm]

f '' (x) = 2*ln 3*ln [mm] 3*3^x [/mm]

4. f(x) = 2*ln(2x)

f ' (x) = [mm] 2*\bruch{1}{2x}*2 [/mm] = 2* [mm] \bruch{1}{x} [/mm]

f '' (x) = - [mm] 2*\bruch{1}{x^2} [/mm]

5. f(t) = ln(1+kt)

f ' (t) = [mm] \bruch{1}{1+kt}*k [/mm] = [mm] k*(1+kt)^{-1} [/mm]

f '' (t) = - [mm] k*\bruch{1}{(1+kt)^2} [/mm]

6. h(t) = [mm] \bruch{1}{2}*ln(\bruch{t}{3} [/mm] -1)

h ' (t) = [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{1}{\bruch{t}{3} -1}*\bruch{1}{3} [/mm]

h ' (t) = [mm] \bruch{1}{2}*(t-3)^{-1} [/mm]

h '' (t) = - [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{1}{(t-3)^2} [/mm]

7. f(x) = ln [mm] b*log_{b} [/mm] x

f(x) = ln [mm] b*b^x [/mm]

f ' (x) = ln b*ln [mm] b*b^x [/mm]

f '' (x) = ln b*ln b*ln [mm] b*b^x [/mm]

8. f(x) = [mm] e^{2*ln x} [/mm] + [mm] ln(e^{2x}) [/mm]

könnte ich umschreiben...

f(x) = [mm] (e^{ln x})^2 [/mm] + [mm] ln^{e^{2x}} [/mm]

f(x) = [mm] x^2 [/mm] + 2x

f ' (x) = 2x + 2

f '' (x) = 2

9. f(t) = [mm] \bruch{1}{3}*sin(ln [/mm] t)

f ' (t) = [mm] \bruch{1}{3}*cos(ln [/mm] t) [mm] *\bruch{1}{t} [/mm]

f '' (t) = [mm] \bruch{1}{3}*(-sin(ln [/mm] t)) [mm] *\bruch{1}{t}*\bruch{1}{t} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}* [/mm] cos(ln t) [mm] *(-\bruch{1}{t^2}) [/mm]

Bezug

Ableitungen Exp./Logar.-Fkt.: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	10:18 Fr 21.03.2008
Autor:	steppenhahn

> 1.
> f(x) = [mm] \ln(x+1) [/mm]
>
> f ' (x) = [mm]\bruch{1}{x+1}*1 =(x+1)^{-1}[/mm]
>
> f '' (x) = - [mm]\bruch{1}{(x+1)^2}*1[/mm]

>

Alles richtig. Es ist

[mm]f'(x) = (x+1)^{-1}[/mm]

und

[mm]f''(x) = -(x+1)^{-2}[/mm].

> 2.

>
> f(x) = [mm]log_{2}[/mm] x + x + 2
>
> Kann ich [mm]log_{2}[/mm] x schreiben als [mm]2^x[/mm]  ?

Nein, der Logarithmus zur Basis 2 ist etwas völlig anderes als [mm] 2^{x}! [/mm]
Hier mal ein Bild:

[Dateianhang nicht öffentlich]

[mm] \log_{2}(x) [/mm] ist nämlich genau die Umkehrfunktion zu [mm] 2^{x}! [/mm]
Was du aber schreiben kannst, ist:

[mm]log_{2}(x) = \bruch{\ln(x)}{\ln(2)} = \underbrace{\bruch{1}{\ln(2)}}_{konstant!}*\ln(x)[/mm]

Warum das oben geht? Das ist ein Logarithmus-Gesetz:

[mm] \log_{a}(b) [/mm]  = [mm] \bruch{\ln(b)}{\ln(a)} [/mm] = [mm] \bruch{\lg(b)}{\lg(a)} [/mm] = [mm] \bruch{\log_{c}(b)}{\log_{c}(a)} [/mm]

Hauptsache, die beiden Logarithmen in den Brüchen haben dieselbe Basis! (Du kannst ja mal überprüfen, warum das funktioniert).

Auf jeden Fall dürften sich damit die Aufgaben viel einfacher lösen lassen! (und richtiger :-)

)
Bei der 2. Mach' ich's mal vor (Hätte die Aufgabe mit [mm] 2^{x} [/mm] so dagestanden, hättest du es auch richtig abgeleitet):
Es ist

[mm]f(x) = \log_{2}(x) + x + 2 = \bruch{\ln(x)}{\ln(2)} + x + 2 = \bruch{1}{\ln(2)}*\ln(x) + x + 2[/mm]

[mm]f'(x) = \underbrace{\bruch{1}{\ln(2)}*\bruch{1}{x} + 1}_{HuebscherZumWeiterrechnen} = \underbrace{\bruch{1}{\ln(2)*x} + 1}_{HuebscherZumHinschreiben(Endergebnis-maessig)}[/mm]

[mm]f''(x) = -\bruch{1}{\ln(2)}*\bruch{1}{x^{2}} = -\bruch{1}{\ln(2)*x^{2}}[/mm]

3. musst du dann auch so lösen.

>
> 4. f(x) = 2*ln(2x)
>
> f ' (x) = [mm]2*\bruch{1}{2x}*2[/mm] = 2* [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
>
> f '' (x) = - [mm]2*\bruch{1}{x^2}[/mm]

Richtig.

>
> 5. f(t) = ln(1+kt)
>
> f ' (t) = [mm]\bruch{1}{1+kt}*k[/mm] = [mm]k*(1+kt)^{-1}[/mm]
>
> f '' (t) = - [mm]k*\bruch{1}{(1+kt)^2}[/mm]

>

Richtig.

> 6. h(t) = [mm]\bruch{1}{2}*ln(\bruch{t}{3}[/mm] -1)
>
> h ' (t) = [mm]\bruch{1}{2}*\bruch{1}{\bruch{t}{3} -1}*\bruch{1}{3}[/mm]
>
> h ' (t) = [mm]\bruch{1}{2}*(t-3)^{-1}[/mm]
>
> h '' (t) = - [mm]\bruch{1}{2}*\bruch{1}{(t-3)^2}[/mm]
>

Auch richtig :-)

> 7. f(x) = ln [mm]b*log_{b}[/mm] x
>
> f(x) = ln [mm]b*b^x[/mm]
>
> f ' (x) = ln b*ln [mm]b*b^x[/mm]
>
> f '' (x) = ln b*ln b*ln [mm]b*b^x[/mm]

Guck oben zu 2./3. und lös die Aufgabe nochmal :-)

> 8. f(x) = [mm]e^{2*ln x}[/mm] + [mm]ln(e^{2x})[/mm]
>
> könnte ich umschreiben...
>
> f(x) = [mm](e^{ln x})^2[/mm] + [mm]ln^{e^{2x}}[/mm]
>
> f(x) = [mm]x^2[/mm] + 2x
>
> f ' (x) = 2x + 2
>
> f '' (x) = 2

Richtig und sehr gut gemacht

>
> 9. f(t) = [mm]\bruch{1}{3}*sin(ln[/mm] t)
>
> f ' (t) = [mm]\bruch{1}{3}*cos(ln[/mm] t) [mm]*\bruch{1}{t}[/mm]
>
>
> f '' (t) = [mm]\bruch{1}{3}*(-sin(ln[/mm] t))
> [mm]*\bruch{1}{t}*\bruch{1}{t}[/mm] + [mm]\bruch{1}{3}*[/mm] cos(ln t)
> [mm]*(-\bruch{1}{t^2})[/mm]

Auch richtig, sehr schön: Die Kettenregel hast du verstanden :-)

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]

Bezug

Ableitungen Exp./Logar.-Fkt.: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	20:09 Fr 21.03.2008
Autor:	hase-hh

3.

f(x) = [mm] log_{3} [/mm] x

hier nehem ich die ln-Variante, weil die Ableitung davon so einfach ist...

f(x) = [mm] \bruch{ln x}{ln 3} [/mm]

f(x) = [mm] \bruch{1}{ln 3}* [/mm] ln x

f ' (x) = [mm] \bruch{1}{ln 3} [/mm] * [mm] \bruch{1}{x} [/mm]

f '' (x) = - [mm] \bruch{1}{ln 3} [/mm] * [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm]

7.

f(x) = ln b * [mm] log_{b} [/mm] x

f(x) = ln b * [mm] \bruch{ln x}{ln b} [/mm]

f(x) = ln x

f ' (x) = [mm] \bruch{1}{x} [/mm]

f '' (x) = - [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm]

Gruß
Wolfgang

Bezug

Ableitungen Exp./Logar.-Fkt.: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	20:35 Fr 21.03.2008
Autor:	MathePower

Hallo hase-hh,

> 3.
>
> f(x) = [mm]log_{3}[/mm]
>
> hier nehem ich die ln-Variante, weil die Ableitung davon so
> einfach ist...

Die Ableitung von [mm]log\left(x\right)[/mm] ist fast die Gleiche, denn [mm]\ln\left(x\right)=log\left(x\right)*\ln\left(10\right)[/mm]

Damit [mm]\left(log\left(x\right)\right)'=\bruch{1}{\ln\left(10\right)}*\bruch{1}{x}[/mm]

>
> f(x) = [mm]\bruch{ln x}{ln 3}[/mm]
>
> f(x) = [mm]\bruch{1}{ln 3}*[/mm] ln x
>
> f ' (x) = [mm]\bruch{1}{ln 3}[/mm] * [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
>
> f '' (x) = - [mm]\bruch{1}{ln 3}[/mm] * [mm]\bruch{1}{x^2}[/mm]
>

Im Ergebnis ändert sich trotzdem nichts.

Das ist richtig.

>
> 7.
>
> f(x) = ln b * [mm]log_{b}[/mm] x
>
> f(x) = ln b * [mm]\bruch{ln x}{ln b}[/mm]
>
> f(x) = ln x
>
> f ' (x) = [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
>
> f '' (x) = - [mm]\bruch{1}{x^2}[/mm]
>

Das ist auch richtig.

>
> Gruß
> Wolfgang

Gruß
MathePower

Bezug

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