Ableitungen I < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 1.[mm]f(x) =x^{x^2}[/mm]
2.[mm]f(x) = e^{ix}[/mm]
3.[mm]f(x) = ln(e^{2x}+1)[/mm] |
Guten Abend an alle :)
Ich soll jeweils die erste Ableitung bestimmen.
Zu 1: [mm]f(x) =x^{x^2}[/mm]
Hier bin ich mir nicht sicher.
Mein Ansatz wäre:
[mm]a^x = e^{x*ln (a) }[/mm] demnach dann [mm]x^{x^2} = e^{x^2 * ln (x)}[/mm]
[mm]f'(x) = 2x * ln(x) * e^{x^2*ln(x)} = 2x*ln(x)*x^{x^2}[/mm]
Ist das richtig? Wenn nein, was wäre ein passender Ansatz?
Falls ja, gibt es noch einen anderen Ansatz?
Zu 2: [mm]f(x) = e^{ix}[/mm]
[mm]e^{ix} = cos(x) + i*sin(x)[/mm]
[mm]f'(x) = -sin(x) + i*cos(x)[/mm]
Sieht sehr kurz aus. Habe ich etwas übersehen?
Zu 3: [mm]f(x) = ln(e^{2x}+1)[/mm]
Das sieht für mich erstmal gruselig aus...
Ich weiß aus einer anderen Aufgabe, dass man die Ableitung von ln(x) durch die Umkehrfunktion [mm]e^x[/mm]bestimmen kann, indem man die Umkehrregel verwendet.
Die lautet allg. [mm] (f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}
[/mm]
Also
[mm]\bruch{1}{(e^{e^{2x} +1})'} = \bruch{1}{e^{2x} * e^{e^{2x} +1}} [/mm]
Okay nun sieht es noch gruseliger aus..
Ist das richtig? Ich habe hier dann die Kettenregel verwendet, also innere mal äußere Ableitung. Aber die innere Ableitung also der Exponent von e besteht ja wieder aus einer e-Funktion. Hätte ich die auch mit der Kettenregel ableiten müssen?
Vielen Dank für jede Hilfe :)
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Hallo LisaWeide,
> 1.[mm]f(x) =x^{x^2}[/mm]
>
> 2.[mm]f(x) = e^{ix}[/mm]
>
> 3.[mm]f(x) = ln(e^{2x}+1)[/mm]
>
> Guten Abend an alle :)
> Ich soll jeweils die erste Ableitung bestimmen.
>
> Zu 1: [mm]f(x) =x^{x^2}[/mm]
>
> Hier bin ich mir nicht sicher.
> Mein Ansatz wäre:
> [mm]a^x = e^{x*ln (a) }[/mm] demnach dann [mm]x^{x^2} = e^{x^2 * ln (x)}[/mm]
>
> [mm]f'(x) = 2x * ln(x) * e^{x^2*ln(x)} = 2x*ln(x)*x^{x^2}[/mm]
>
> Ist das richtig? Wenn nein, was wäre ein passender
> Ansatz?
Der Ansatz ist richtig,.
Bei der Ableitung des Exponenten ist doch die Produktregel anzuwenden.
> Falls ja, gibt es noch einen anderen Ansatz?
>
> Zu 2: [mm]f(x) = e^{ix}[/mm]
>
> [mm]e^{ix} = cos(x) + i*sin(x)[/mm]
>
> [mm]f'(x) = -sin(x) + i*cos(x)[/mm]
>
> Sieht sehr kurz aus. Habe ich etwas übersehen?
>
Nein. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Zu 3: [mm]f(x) = ln(e^{2x}+1)[/mm]
>
> Das sieht für mich erstmal gruselig aus...
> Ich weiß aus einer anderen Aufgabe, dass man die
> Ableitung von ln(x) durch die Umkehrfunktion [mm]e^x[/mm]bestimmen
> kann, indem man die Umkehrregel verwendet.
>
> Die lautet allg. [mm](f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}
[/mm]
>
> Also
>
> [mm]\bruch{1}{(e^{e^{2x} +1})'} = \bruch{1}{e^{2x} * e^{e^{2x} +1}}[/mm]
>
> Okay nun sieht es noch gruseliger aus..
> Ist das richtig? Ich habe hier dann die Kettenregel
Nein, das ist nicht richtig.
> verwendet, also innere mal äußere Ableitung. Aber die
> innere Ableitung also der Exponent von e besteht ja wieder
> aus einer e-Funktion. Hätte ich die auch mit der
> Kettenregel ableiten müssen?
>
Wenn Du die Ableitung mit der Umkehrregel machen willst,
dann definiere zuerst:
[mm]f\left(x\right)=g\left( \ h\left(x\right) \ \right)[/mm]
mit [mm]g\left(x\right):=\ln\left(x\right), \ h\left(x\right)=e^{2x}+1[/mm]
Dann ergibt sich die Ableitung zunnächst nach der Kettenregel:
[mm]f'\left(x\right)=g'\left( \ h\left(x\right) \ \right)*h'\left(x\right)[/mm]
wobei
[mm]g'\left( \ h\left(x\right) \ \right)=\bruch{1}{\left(g^{-1}\right)'\left( \ g\left(h\left(x\right)\right) \ \right)}[/mm]
> Vielen Dank für jede Hilfe :)
>
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower, und vielen Dank für deine Hilfe :)
> > Zu 1: [mm]f(x) =x^{x^2}[/mm]
> >
> > Hier bin ich mir nicht sicher.
> > Mein Ansatz wäre:
> > [mm]a^x = e^{x*ln (a) }[/mm] demnach dann [mm]x^{x^2} = e^{x^2 * ln (x)}[/mm]
>
> >
> > [mm]f'(x) = 2x * ln(x) * e^{x^2*ln(x)} = 2x*ln(x)*x^{x^2}[/mm]
> >
> > Ist das richtig? Wenn nein, was wäre ein passender
> > Ansatz?
>
>
> Der Ansatz ist richtig.
>
> Bei der Ableitung des Exponenten ist doch die Produktregel
> anzuwenden.
Oh ja, das habe ich übersehen, vielen Dank.
[mm]x^{x^2} = e^{x^2 * ln (x)}[/mm]
[mm]f'(x) = (2x*ln(x) + x^2*\bruch{1}{x}) * x^{x^2} = (2x*ln(x) + x)*x^{x^2}[/mm]
Nun richtig?
> > Zu 3: [mm]f(x) = ln(e^{2x}+1)[/mm]
> >
> > Das sieht für mich erstmal gruselig aus...
> > Ich weiß aus einer anderen Aufgabe, dass man die
> > Ableitung von ln(x) durch die Umkehrfunktion [mm]e^x[/mm]bestimmen
> > kann, indem man die Umkehrregel verwendet.
> >
> > Die lautet allg. [mm](f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}[/mm]
>
> >
> > Also
> >
> > [mm]\bruch{1}{(e^{e^{2x} +1})'} = \bruch{1}{e^{2x} * e^{e^{2x} +1}}[/mm]
>
> >
> > Okay nun sieht es noch gruseliger aus..
> > Ist das richtig? Ich habe hier dann die Kettenregel
>
>
> Nein, das ist nicht richtig.
>
>
> > verwendet, also innere mal äußere Ableitung. Aber die
> > innere Ableitung also der Exponent von e besteht ja wieder
> > aus einer e-Funktion. Hätte ich die auch mit der
> > Kettenregel ableiten müssen?
Und wie geht man das sonst an?
Könnt ihr mir bitte einen Tipp geben?
Grüße,
Lisa
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Hallo,
>
> [mm]x^{x^2} = e^{x^2 * ln (x)}[/mm]
>
> [mm]f'(x) = (2x*ln(x) + x^2*\bruch{1}{x}) * x^{x^2} = (2x*ln(x) + x)*x^{x^2}[/mm]
>
> Nun richtig?
>
Ja, das ist richtig.
>
> > > Zu 3: [mm]f(x) = ln(e^{2x}+1)[/mm]
> > >
> > > Das sieht für mich erstmal gruselig aus...
> > > Ich weiß aus einer anderen Aufgabe, dass man die
> > > Ableitung von ln(x) durch die Umkehrfunktion [mm]e^x[/mm]bestimmen
> > > kann, indem man die Umkehrregel verwendet.
> > >
> > > Die lautet allg. [mm](f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Also
> > >
> > > [mm]\bruch{1}{(e^{e^{2x} +1})'} = \bruch{1}{e^{2x} * e^{e^{2x} +1}}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Okay nun sieht es noch gruseliger aus..
> > > Ist das richtig? Ich habe hier dann die Kettenregel
> >
> >
> > Nein, das ist nicht richtig.
> >
> >
> > > verwendet, also innere mal äußere Ableitung. Aber die
> > > innere Ableitung also der Exponent von e besteht ja wieder
> > > aus einer e-Funktion. Hätte ich die auch mit der
> > > Kettenregel ableiten müssen?
>
> Und wie geht man das sonst an?
> Könnt ihr mir bitte einen Tipp geben?
Also die Ableitung der ln-Funktion steht doch in jeder Formelsammlung, die musst du an dieser Stelle sicherlich nicht beweisen:
[mm] \left(ln(x\right)'=\bruch{1}{x}
[/mm]
Ansonsten ist das eine ganz einfache Aufgabe zur Kettenregel. ÜBerlege dir also äußere und innere Ableitung, muzltipliziere beide und du bist fertig.
Gruß, Diophant
>
> Grüße,
> Lisa
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Hey Diophant ;)
Danke für deine Antwort :)
> Ansonsten ist das eine ganz einfache Aufgabe zur Kettenregel. > Überlege dir also äußere und innere Ableitung, muzltipliziere beide > und du bist fertig.
/MathePower
> Wenn Du die Ableitung mit der Umkehrregel machen willst,
> dann definiere zuerst:
Das heißt ich muss es gar nicht mit der Umkehrregel machen, sondern einfach mit der Kettenregel, wie Diophant angemerkt hatte?
> [mm]f\left(x\right)=g\left( \ h\left(x\right) \ \right)[/mm]
>
> mit [mm]g\left(x\right):=\ln\left(x\right), \ h\left(x\right)=e^{2x}+1[/mm]
>
> Dann ergibt sich die Ableitung zunnächst nach der
> Kettenregel:
>
> [mm]f'\left(x\right)=g'\left( \ h\left(x\right) \ \right)*h'\left(x\right)[/mm]
Das würde also eigentlich reichen, nur wenn ich die Ableitung von ln(x) nicht kennen oder nicht benutzen darf, müsste ich es mit der Umkehrregel machen, oder?
> wobei
>
> [mm]g'\left( \ h\left(x\right) \ \right)=\bruch{1}{\left(g^{-1}\right)'\left( \ g\left(h\left(x\right)\right) \ \right)}[/mm]
>
>
Ich probiere es mal:
Die Ableitung von ln(x) ist also [mm]\bruch{1}{x}[/mm] ist dann [mm]g'(f(x)) = \bruch{1}{e^{2x}+1}[/mm] oder muss ich [mm]e^{2x}+1[/mm] auch noch ableiten?
Das verstehe ich nicht, bevor ich weiter mache, muss ich das erstmal verstehen..
Kann mir da einer helfen?
Danke euch beiden :)
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Hallo LisaWeide,
> Hey Diophant ;)
> Danke für deine Antwort :)
>
> > Ansonsten ist das eine ganz einfache Aufgabe zur
> Kettenregel. > Überlege dir also äußere
> und innere Ableitung, muzltipliziere beide > und
> du bist fertig.
>
> /MathePower
> > Wenn Du die Ableitung mit der Umkehrregel machen
> willst,
> > dann definiere zuerst:
>
> Das heißt ich muss es gar nicht mit der Umkehrregel
> machen, sondern einfach mit der Kettenregel, wie Diophant
> angemerkt hatte?
>
> > [mm]f\left(x\right)=g\left( \ h\left(x\right) \ \right)[/mm]
> >
> > mit [mm]g\left(x\right):=\ln\left(x\right), \ h\left(x\right)=e^{2x}+1[/mm]
>
> >
> > Dann ergibt sich die Ableitung zunnächst nach der
> > Kettenregel:
> >
> > [mm]f'\left(x\right)=g'\left( \ h\left(x\right) \ \right)*h'\left(x\right)[/mm]
>
> Das würde also eigentlich reichen, nur wenn ich die
> Ableitung von ln(x) nicht kennen oder nicht benutzen darf,
> müsste ich es mit der Umkehrregel machen, oder?
>
Ja.
> > wobei
> >
> > [mm]g'\left( \ h\left(x\right) \ \right)=\bruch{1}{\left(g^{-1}\right)'\left( \ g\left(h\left(x\right)\right) \ \right)}[/mm]
>
> >
> >
>
> Ich probiere es mal:
>
> Die Ableitung von ln(x) ist also [mm]\bruch{1}{x}[/mm] ist dann
> [mm]g'(f(x)) = \bruch{1}{e^{2x}+1}[/mm] oder muss ich [mm]e^{2x}+1[/mm] auch
> noch ableiten?
Jetzt hast Du die äüßere Ableitung, die Ableitung des Logarithmus.
Nun benötigst Du noch die Ableitung von [mm]e^{2x}+1[/mm].
Diese beiden Ableitungen dann multiplizieren und Du bist fertig.
> Das verstehe ich nicht, bevor ich weiter mache, muss ich
> das erstmal verstehen..
> Kann mir da einer helfen?
>
> Danke euch beiden :)
Gruss
MathePower
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> > Ich probiere es mal:
> >
> > Die Ableitung von ln(x) ist also [mm]\bruch{1}{x}[/mm] ist dann
> > [mm]g'(f(x)) = \bruch{1}{e^{2x}+1}[/mm] oder muss ich [mm]e^{2x}+1[/mm] auch
> > noch ableiten?
>
>
> Jetzt hast Du die äüßere Ableitung, die Ableitung des
> Logarithmus.
Ah okay, ich dachte vielleicht wäre es doch:
[mm]g'(f(x)) = \bruch{1}{2*e^{2x}}[/mm]
Aber das wäre dann ja irgendwie doppelt gemoppelt und falsch.
Also ist die Ableitung von [mm]ln(e^{2x}+1)[/mm] gleich [mm]\bruch{1}{e^{2x}+1} * 2*e^{2x} = \bruch{2}{\bruch{1}{e^{2x}}+1}[/mm]
Wieso schreibt man den Satz "Die Ableitung von .. ist .." mathematisch auf? Also in einer Zeile?
Dankeschön :)
Liebe Grüße,
Lisa
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Hallo,
> > Jetzt hast Du die äüßere Ableitung, die Ableitung des
> > Logarithmus.
>
> Ah okay, ich dachte vielleicht wäre es doch:
>
> [mm]g'(f(x)) = \bruch{1}{2*e^{2x}}[/mm]
>
> Aber das wäre dann ja irgendwie doppelt gemoppelt und
> falsch.
Sehr richtig. Das wäre sehr falsch. 
>
> Also ist die Ableitung von [mm]ln(e^{2x}+1)[/mm] gleich
> [mm]\bruch{1}{e^{2x}+1} * 2*e^{2x} = \bruch{2}{\bruch{1}{e^{2x}}+1}[/mm]
>
Richtig. Die zweite Version ist etwas unglücklich notiert, nutze hier die Eigenschaft der Exponentialfunktion exp(-x)=1/exp(x). Dann sieht es etwa so aus:
[mm] \left(ln\left(e^{2x}+1\right)\right)'=\bruch{2e^{2x}}{e^{2x}+1}=\bruch{2}{1+e^{-2x}}
[/mm]
> Wieso schreibt man den Satz "Die Ableitung von .. ist .."
> mathematisch auf? Also in einer Zeile?
Warum nicht, das benötigt man oft in Argumentationen.
Gruß, Diophant
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Hallo Diophant :)
> > Also ist die Ableitung von [mm]ln(e^{2x}+1)[/mm] gleich
> > [mm]\bruch{1}{e^{2x}+1} * 2*e^{2x} = \bruch{2}{\bruch{1}{e^{2x}}+1}[/mm]
>
> >
>
> Richtig. Die zweite Version ist etwas unglücklich notiert,
> nutze hier die Eigenschaft der Exponentialfunktion
> exp(-x)=1/exp(x). Dann sieht es etwa so aus:
>
> [mm]\left(ln\left(e^{2x}+1\right)\right)'=\bruch{2e^{2x}}{e^{2x}+1}=\bruch{2}{1+e^{-2x}}[/mm]
Super, vielen Dank :)
> > Wieso schreibt man den Satz "Die Ableitung von .. ist .."
> > mathematisch auf? Also in einer Zeile?
>
> Warum nicht, das benötigt man oft in Argumentationen.
Oh Gott, da habe ich mich verschrieben.
Nicht wieso, sondern WIE :D
Also wie schreibt man den Satz "Die Ableitung von .. ist .." mathematisch auf? Also in einer Zeile?
Mit Mathematisch meine ich die Wörter durch Symbole/Formeln ersetzen.
Liebe Grüße,
Lisa
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:10 Mi 13.02.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Lisa,
>
> Hallo Diophant :)
>
> > > Also ist die Ableitung von [mm]ln(e^{2x}+1)[/mm] gleich
> > > [mm]\bruch{1}{e^{2x}+1} * 2*e^{2x} = \bruch{2}{\bruch{1}{e^{2x}}+1}[/mm]
>
> >
> > >
> >
> > Richtig. Die zweite Version ist etwas unglücklich notiert,
> > nutze hier die Eigenschaft der Exponentialfunktion
> > exp(-x)=1/exp(x). Dann sieht es etwa so aus:
> >
> >
> [mm]\left(ln\left(e^{2x}+1\right)\right)'=\bruch{2e^{2x}}{e^{2x}+1}=\bruch{2}{1+e^{-2x}}[/mm]
>
> Super, vielen Dank :)
>
> > > Wieso schreibt man den Satz "Die Ableitung von .. ist .."
> > > mathematisch auf? Also in einer Zeile?
> >
> > Warum nicht, das benötigt man oft in Argumentationen.
>
> Oh Gott, da habe ich mich verschrieben.
> Nicht wieso, sondern WIE :D
>
> Also wie schreibt man den Satz "Die Ableitung von .. ist
> .." mathematisch auf? Also in einer Zeile?
>
> Mit Mathematisch meine ich die Wörter durch
> Symbole/Formeln ersetzen.
machen wir ein Kurzbeispiel:
Betrachten wir $f [mm] \colon \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x):=x^2\,.$
[/mm]
Dann kann man es in vielen Versionen machen (generell ist die erste
Version eigentlich zu vollständig, denn per Definitionem ist eine Funktion
genau dann differenzierbar, wenn sie überall in ihrem Definitionsbereich
differenzierbar ist; und eigentlich braucht man bei der Ableitung nicht den
Definitions- und Zielbereich nochmal mitschleppen, siehe ![[]](/images/popup.gif) Definition 13.1)
(I) [mm] $\bullet$ [/mm] Die Ableitung der Funktion [mm] $f\,$ [/mm] mit $f [mm] \colon \IR \to \IR$ [/mm] und [mm] $f(x):=x^2$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$) [/mm]
ist gegeben durch [mm] $f\,'$ [/mm] mit [mm] $f\,' \colon \IR \to \IR$ [/mm] und [mm] $f\,'(x)=2x$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$)
[/mm]
Wegen der Bemerkung kürzer und besser:
(II) [mm] $\bullet$ [/mm] Die Ableitung der Funktion [mm] $f\,$ [/mm] mit $f [mm] \colon \IR \to \IR$ [/mm] und [mm] $f(x):=x^2$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$) [/mm]
ist gegeben durch [mm] $f\,'$ [/mm] mit [mm] $f\,'(x)=2x$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$)
[/mm]
Meist sind wird sowas aber nicht in dieser Ausführlichkeit notiert; schau'
einfach mal generell in Heuser, Analysis I, nach, da findest Du auch die
meisten üblichen bzw. gängigen Notationen - wobei ich hier eigentlich nur
die meine, wie man "generell Funktionen in der Analysis notieren kann".
Ich biete nun noch drei von diesen Varianten an; hier wirst Du sehen, dass
meist der Begriff der Funktion eigentlich ein wenig "schlampig" gehandhabt
wird: Denn eine Funktion $f [mm] \colon [/mm] D [mm] \to [/mm] Z$ besteht ja
[mm] $\bullet$ [/mm] neben einer - wie auch immer gearteten - Funktionsvorschrift
(die JEDEM $x [mm] \in [/mm] D$ GENAU EIN $f(x) [mm] \in [/mm] Z$ zuordnet)
insbesondere ihrem Definitionsbereich [mm] $D\,$ [/mm] und ihrem Zielbereich [mm] $Z\,.$
[/mm]
Nichtsdestotrotz wäre es auch üblich, hier zu sagen
(III) [mm] $\bullet$ [/mm] Die Ableitung der Funktion [mm] $f(x):=x^2$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$) [/mm] ist [mm] $f\,'(x)=2x\,.$
[/mm]
Oder
[mm] $\bullet$ [/mm] Die Ableitung (der Funktion) [mm] $\IR \ni [/mm] x [mm] \mapsto x^2$ [/mm] ist $x [mm] \mapsto 2x\,.$
[/mm]
Und - wie ich finde, eigentlich ganz schlecht, aber gerade in der Schule
gerne benutzt - zudem kann man auch sagen
[mm] $\bullet$ [/mm] Die Ableitung der Funktion [mm] $x^2$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$) [/mm] ist [mm] $2x\,.$
[/mm]
Und natürlich gibt's die obigen Notationen in kleineren Varianten - so meint
man, wenn man in der Schule etwa von der Funktion [mm] $x^2$ [/mm] spricht, sie sowieso
immer auf ihrem maximalen Definitionsbereich [mm] $\subseteq \IR$ [/mm] definiert, und deswegen
sagt man in der Schule auch einfach
[mm] $\bullet$ [/mm] Die Ableitung von [mm] $x^2$ [/mm] ist [mm] $2x\,.$
[/mm]
Kurz zu oben gesagtem:
Ich selbst bevorzuge Variante (II); die Variante (I) finde ich, wie gesagt,
ein wenig zu viel des Guten. Auch Variante (III) würde ich notfalls benutzen.
Die letzten beiden Varianten bieten sich übrigens an, wenn man
Schüler(inne)n Nachhilfe gibt, denn sie sind ersten schulgerecht bzw. wie
gesagt: schulüblich, und zum anderen muss man nicht anfangen, den
Schülern dann nochmal genau bzw. formal genau zu erklären, was
eigentlich die eine Funktion charakterisierenden Eigenschaften sind.
P.S. Strenggenommen ist nach Definition 13.1 der Begriff der Ableitung von
[mm] $$\tilde{f} \colon \IR \to [0,\infty) \text{ mit }\tilde{f}(x):=x^2$$
[/mm]
so nicht direkt anwendbar - denn [mm] $[0,\infty)\,$ [/mm] "ist kein Körper", insbesondere gilt
auch weder [mm] $[0,\infty)=\IR$ [/mm] noch [mm] $[0,\infty)=\IC\,.$ [/mm] Ich weiß nicht, ob es für
Dich nun wirklich notwendig ist, den Begriff auf solche Fälle "zu erweitern",
denn eigentlich ist das nur eine Kleinigkeit, die man ändern sollte, und ich
denke, dass Dir das eh klar ist, dass man auch bei obiger Funktion [mm] $\tilde{f}$ [/mm] herausbekäme,
dass [mm] $\tilde{f}\,'\colon \IR \to \IR$ [/mm] durch [mm] $\tilde{f}(x):=2x$ [/mm] gegeben ist. D.h.
[mm] $$f\colon \IR \to \IR,\;\tilde{f}\colon \IR \to [0,\infty)$$
[/mm]
mit
[mm] $$f(x):=\tilde{f}(x):=x^2 \;\;\;(x \in \IR)$$
[/mm]
haben beide die gleiche Ableitungsfunktion...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Mi 13.02.2013 | | Autor: | LisaWeide |
Hallo Marcel :))))
Vielen lieben Dank für deine ausführliche Antwort! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Du hast nicht nur meine gestellte Frage beantwortet, sondern mein Wissen erweitert und gefestigt. ;)
Großes Dankeschön an dich :)
Und natürlich auch an Diophant und MathePower :)
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