www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Differentiation" - Ableitungen berechnen
Ableitungen berechnen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentiation"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Ableitungen berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:39 Di 14.09.2010
Autor: ATDT

Aufgabe
Sei a > 1. Berechne die Ableitungen für f' und g'

a) f: [mm] \IR_{>0} \to \IR [/mm] : x [mm] \mapsto cos(ln(x)*a^x) [/mm]
b) g: [mm] \IR_{>0} \to \IR [/mm] : x [mm] \mapsto \bruch{log_{a}*(x)}{exp(\wurzel{x})} [/mm]

Liebe Helfer,

Ableitungen sind eigentlich kein Problem, es sei denn sie sehen so aus wie diese beiden. Hier komme ich nicht weiter

Muss man hier z.B. bei a) erst cos(x) ableiten?
Also Ableitung von cos(x) = -sin(x)
Dann habe ich [mm] -sin(ln(x)*a^x) [/mm] ?
und dann ln(x) und [mm] a^x [/mm] ableiten?
also [mm] -sin(\bruch{1}{x}*xa) [/mm] ?

Oder ist das komplett falsch?
Bitte korrigiert mich wenn ich falsch liege...
Bei der b) habe ich nicht einmal einen Ansatz.
Aber soweit ich weiss ist die Ableitung von [mm] e^x [/mm] ist immer [mm] e^x. [/mm]
Was passiert mit dem [mm] log_{a}. [/mm] HILFE

Lg ATDT

        
Bezug
Ableitungen berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:17 Di 14.09.2010
Autor: algieba

Hi ATDT


> Sei a > 1. Berechne die Ableitungen für f' und g'
>  
> a) f: [mm]\IR_{>0} \to \IR[/mm] : x [mm]\mapsto cos(ln(x)*a^x)[/mm]
>  b) g:
> [mm]\IR_{>0} \to \IR[/mm] : x [mm]\mapsto \bruch{log_{a}*(x)}{exp(\wurzel{x})}[/mm]
>  
> Liebe Helfer,
>  
> Ableitungen sind eigentlich kein Problem, es sei denn sie
> sehen so aus wie diese beiden. Hier komme ich nicht weiter
>  
> Muss man hier z.B. bei a) erst cos(x) ableiten?
> Also Ableitung von cos(x) = -sin(x)
>  Dann habe ich [mm]-sin(ln(x)*a^x)[/mm] ?
>  und dann ln(x) und [mm]a^x[/mm] ableiten?
>  also [mm]-sin(\bruch{1}{x}*xa)[/mm] ?
>  
> Oder ist das komplett falsch?
> Bitte korrigiert mich wenn ich falsch liege...

Leider liegst du falsch! Du musst hier die Kettenregel und die Produktregel anwenden.

Als erstes wenden wir die Kettenregel an:
Sei $u(x) = [mm] \cos [/mm] (x)$ und $v(x) = [mm] \ln [/mm] (x) * [mm] a^x$ [/mm]
Dann ist $f(x) = u(v(x))$, und damit können wir die Kettenregel anwenden. Die Ableitung ist dann $f'(x) = u'(v(x)) * v'(x)$!

Um $v'(x)$ zu berechnen musst du die Produktregel verwenden:
Sei $g(x) = [mm] \ln [/mm] (x)$ und $h(x) = [mm] a^x$ [/mm]
Dann ist $v(x) = g(x) * h(x)$. Dann ist die Ableitung $v'(x) = g'(x)*h(x) + g(x)*h'(x)$

Die Berechnungen der Ableitungen überlasse ich dir, damit ich dir nicht alles vorsage ;-) Nur noch ein Tipp: Deine Ableitung von [mm] $a^x$ [/mm] ist nicht richtig!


> Bei der b) habe ich nicht einmal einen Ansatz.
>  Aber soweit ich weiss ist die Ableitung von [mm]e^x[/mm] ist immer
> [mm]e^x.[/mm]
>  Was passiert mit dem [mm]log_{a}.[/mm] HILFE

Die b) geht im Prinzp ähnlich wie die a), nur musst du hier die Quotientenregel und die Kettenregel verwenden (unter der Annahme, dass du dich bei der Aufgabe verschrieben hast, und das Malzeichen überflüssig ist: [mm]\bruch{log_{a}(x)}{exp(\wurzel{x})}[/mm].
Es stimmt zwar dass die Ableitung von [mm] $e^x$ [/mm] immer [mm] $e^x$ [/mm] ist, das gilt bei [mm] $e^{\sqrt{x}}$ [/mm] aber nicht. Hier musst du die Kettenregel wie bei a) verwenden.
Die Ableitung von [mm] $log_{a} [/mm] (x)$ ist [mm] $(log_{a} [/mm] (x))' = [mm] \frac{1}{x*\ln (a)}$ [/mm]


Viele Grüße
algieba




>  
> Lg ATDT


Bezug
                
Bezug
Ableitungen berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:26 Do 23.09.2010
Autor: ATDT

Vielen Dank!
Ich habe es nun mal versucht:

f(x) = cos(ln(x) * [mm] a^x) [/mm]
Kettenregel: Sei u(x) = cos(x)
v(x) = ln(x) * [mm] a^x [/mm]

f(x) = u(v(x)) also f(x) = cos(ln(x) * [mm] a^x) [/mm]
f'(x) = u'(v(x)) * v'(x) also f'(x) = -sin(ln(x) * [mm] a^x) [/mm] * v'(x)

Für die Berechnung von v'(x) benutze die Produktregel:
Sei g(x) = ln(x)
h(x) = [mm] a^x [/mm]

v(x) = g(x) * h(x) also v(x) = ln(x) * [mm] a^x [/mm]
v'(x) = g'(x) * h(x) + g(x) * h'(x) also v'(x) = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] * [mm] a^x [/mm] + ln(x) * ln(a) * [mm] a^x [/mm]

Also ist die Ableitung von f(x) = cos(ln(x) * [mm] a^x) [/mm]
= f'(x) = -sin(ln(x) * [mm] a^x) [/mm] * [mm] \bruch{1}{x} [/mm] * [mm] a^x [/mm] + ln(x) * ln(a) * [mm] a^x [/mm]

stimmt das?

LG ATDT

Bezug
                        
Bezug
Ableitungen berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:33 Do 23.09.2010
Autor: M.Rex

Hallo.

Das ist soweit okay, du hast dnur vergessen, um die innere Ableitung Klammern zu setzen.

Korrekt wäre also:


[mm] f'(x)=-\sin(\ln(x)*a^{x})*\red{\left(}\bruch{1}{x}*a^{x}+\ln(x)*\ln(a)*a^{x}\red{\right)} [/mm]

Marius



Bezug
                                
Bezug
Ableitungen berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:34 Do 23.09.2010
Autor: ATDT

Herzlichen Dank!

nun zur b)
Ohje ich hab einfach mal stur die Regeln angewandt. Hoffe es passt so.

[mm] (\bruch{f}{g})=\bruch{log_{a}(x)}{exp(\wurzel{x})} [/mm]
Quotionenregel: [mm] (\bruch{f}{g})'=\bruch{f'*g-f*g'}{g^2} [/mm]
f'(x) = [mm] \bruch{1}{ln(a)*x} [/mm]

Sei u(x) = e
und v(x) = [mm] \wurzel{x} [/mm]
[mm] g'(x)=u'(v(x))*v'(x)=e(\wurzel{x})*\bruch{1}{2\wurzel{x}}=\bruch{e(\wurzel{x})}{2\wurzel{x}} [/mm]

[mm] (\bruch{f}{g})'=\bruch{\bruch{1}{ln(a)*x}*e^{\wurzel{x}}-log_{a}(x)*\bruch{e(\wurzel{x})}{2\wurzel{x}}}{e^{\wurzel{x}}*e^{\wurzel{x}}} [/mm]

[mm] =\bruch{\bruch{e^{\wurzel{x}}}{ln(a)*x}-log_{a}(x)*\bruch{e(\wurzel{x})}{2\wurzel{x}}}{e^{\wurzel{x}}*e^{\wurzel{x}}} [/mm]

[mm] =\bruch{\bruch{1}{ln(a)*x}-log_{a}(x)*\bruch{e}{2}}{e^{\wurzel{x}}} [/mm]

Bezug
                                        
Bezug
Ableitungen berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:58 Do 23.09.2010
Autor: M.Rex

Hallo

> Herzlichen Dank!

Bitte ;-)

>  
> nun zur b)
> Ohje ich hab einfach mal stur die Regeln angewandt. Hoffe
> es passt so.
>  
> [mm](\bruch{f}{g})=\bruch{log_{a}(x)}{exp(\wurzel{x})}[/mm]
>  Quotionenregel: [mm](\bruch{f}{g})'=\bruch{f'*g-f*g'}{g^2}[/mm]
>  f'(x) = [mm]\bruch{1}{ln(a)*x}[/mm]
>  
> Sei u(x) = e
> und v(x) = [mm]\wurzel{x}[/mm]
> [mm]g'(x)=u'(v(x))*v'(x)=e(\wurzel{x})*\bruch{1}{2\wurzel{x}}=\bruch{e(\wurzel{x})}{2\wurzel{x}}[/mm]
>  
> [mm](\bruch{f}{g})'=\bruch{\bruch{1}{ln(a)*x}*e^{\wurzel{x}}-log_{a}(x)*\bruch{e(\wurzel{x})}{2\wurzel{x}}}{e^{\wurzel{x}}*e^{\wurzel{x}}}[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{\bruch{e^{\wurzel{x}}}{ln(a)*x}-log_{a}(x)*\bruch{e(\wurzel{x})}{2\wurzel{x}}}{e^{\wurzel{x}}*e^{\wurzel{x}}}[/mm]


Bis hierher ist alles korrekt, im nächsten Schritt machst du beim Ausklammern von [mm] e^{\wurzel{x}} [/mm] einen Fehler:
Es glt:

[mm] \bruch{\bruch{e^{\wurzel{x}}}{\ln(a)\cdot{}x}-\log_{a}(x)\cdot{}\bruch{e(\wurzel{x})}{2\wurzel{x}}}{e^{\wurzel{x}}\cdot{}e^{\wurzel{x}}} [/mm]

[mm] =\bruch{e^{\wurzel{x}}*\left(\bruch{1}{\ln(a)\cdot{}x}-\log_{a}(x)\cdot{}\bruch{1}{2\wurzel{x}}\right)}{e^{\wurzel{x}}\cdot{}e^{\wurzel{x}}} [/mm]

[mm] =\bruch{\bruch{2}{2\ln(a)\cdot{}x}-\bruch{\log_{a}(x)\cdot{}*\wurzel{x}}{2\wurzel{x}\wurzel{x}}}{e^{\wurzel{x}}} [/mm]

[mm] =\bruch{\bruch{2-\log_{a}(x)*\wurzel{x}}{2x}}{e^{\wurzel{x}}} [/mm]

Wenn du jetzt noch viel tun willst, kannst du den Doppelbruch entfernen.

Marius


Bezug
                                                
Bezug
Ableitungen berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:07 Do 23.09.2010
Autor: ATDT

Hallo Marius,

danke für deine Hilfe.

Also eigentlich habe ich nicht versucht auszuklammern... sondern zu kürzen. Hast du vielleicht etwas übersehen? ich meine beim e * [mm] (\wurzel{x}) [/mm] im zähler. es ist nicht e hoch wurzel x

naja, ich kann auch falsch liegen. Ich dachte halt man könnte da einfach kürzen.

Bezug
                                                        
Bezug
Ableitungen berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:42 Do 23.09.2010
Autor: schachuzipus

Hallo ATDT,

> Hallo Marius,
>
> danke für deine Hilfe.
>
> Also eigentlich habe ich nicht versucht auszuklammern...
> sondern zu kürzen. Hast du vielleicht etwas übersehen?
> ich meine beim e * [mm](\wurzel{x})[/mm] im zähler. es ist nicht e
> hoch wurzel x

Das muss aber [mm]e^{\sqrt{x}}[/mm] lauten.

Entweder schreibst du [mm]\exp(\sqrt{x})[/mm] oder [mm]e^{\sqrt{x}}[/mm]

Beides meint dasselbe.

[mm]e(\sqrt{x})[/mm] als Abkürzung für [mm]e\cdot{}\sqrt{x}[/mm] ist eine ganz andere (und hier sehr falsche) Baustelle!

>
> naja, ich kann auch falsch liegen.

Ja!

> Ich dachte halt man
> könnte da einfach kürzen.

Zumindest auf "deine Art" nicht ;-)

Gruß

schachuzipus


Bezug
        
Bezug
Ableitungen berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:06 Do 23.09.2010
Autor: ATDT


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentiation"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]