Ableitungen bestimmen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:44 Mo 31.05.2010 | | Autor: | gigi |
| Aufgabe | Gegeben sei das Gleichungssystem F(x,y,z)= x+y+z=0, G(x,y,z)= [mm] x^3+y^3-z^3=10 [/mm] und M(1,1,-2)
Bestimmen Sie in M die jeweiligen Ableitungen [mm] \bruch{dx}{dz}, \bruch{dy}{dz}; \bruch{dy}{dx}, \bruch{dz}{dx}; \bruch{dx}{dy}, \bruch{dz}{dy}. [/mm] |
Hallo,
ich weiß ja, wie man "normal" ableitet, da steht dann aber immer nur etwas wie [mm] \bruch{df}{dx} [/mm] und man hat eine Fkt f(x) gegeben. Und hier leitet man ja anscheinend nach 2 Variablen ab- aber wie genau und was bedeutet das? Ich soll ja hier sicherlich nicht einfach [mm] \bruch{F_x}{F_z} [/mm] usw rechnen oder?
Herzlichen Dank für jede Hilfe!
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Hallo gigi,
müsste das nicht heißen [mm] F(x,y,z)\red{\text{:}}\quad[/mm] [mm]x+y+z=0[/mm]
Beide Funktionen zusammen definieren etwas im Raum. Hier mal ein Bildausschnitt in der Nähe des Ursprungs, Betrachtungsrichtung und Maßstab tun nichts zur Sache:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die gelbe Fläche ist die Funktion G, der ebene Kreisausschnitt die Funktion F, und die von Dir zu untersuchende Struktur ist nun genau die gewellte Schnittlinie der beiden.
Von daher wird [mm] \bruch{F_x}{F_y} [/mm] etc. noch nicht genügen.
Ist die Aufgabe erstmal klarer?
Grüße
reverend
PS: Das Bildprogramm, mit dem ich die Skizze oben gemacht habe, heißt "Surfer". Es kann nur algebraische Flächen darstellen, die aber dafür sehr hübsch...
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:15 Mo 31.05.2010 | | Autor: | gigi |
> Hallo gigi,
>
> müsste das nicht heißen [mm]F(x,y,z)\red{\text{:}}\quad[/mm]
> [mm]x+y+z=0[/mm]
>
In meiner Aufgabe steht es mit "=", wohl ein Fehler.
>
> Die gelbe Fläche ist die Funktion G, der ebene
> Kreisausschnitt die Funktion F, und die von Dir zu
> untersuchende Struktur ist nun genau die gewellte
> Schnittlinie der beiden.
>
> Von daher wird [mm]\bruch{F_x}{F_y}[/mm] etc. noch nicht genügen.
>
> Ist die Aufgabe erstmal klarer?
Nun, ich weiß jetzt immer noch nicht, wie ich [mm] \bruch{dx}{dz} [/mm] berechne und was es ganz konkret ist. Vielleicht kannst du ja mal ein Beispiel vorrechnen? Ich erkenne auch die gewellt Schnittlinie- aber was ist das mathematisch in meiner Aufgabe? Etwa die Ableitung?
> Grüße
> reverend
Besten Dank und Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:47 Mo 31.05.2010 | | Autor: | fred97 |
Beispiel:
Die Gleichung $x+y+z=0$ lässt sich nach x auflösen in der Form $x= [mm] \phi(y,z)$, [/mm] nämlich
$x= [mm] \phi(y,z)= [/mm] -y-z$
Dann ist
$ [mm] \bruch{dx}{dz} [/mm] = [mm] \phi_z [/mm] = -1$
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:11 Di 01.06.2010 | | Autor: | gigi |
das bedeutet, ich löse einfach nach der variable auf, die im zähler steht und leite anschließend nach der variable ab, die im nenner steht, richtig?
dies habe ich für F gemacht und erhalte stets -1.
das gleiche müsste man analog dann noch einmal für G machen, oder?
ach und dann fällt mir ein, dass ich die ableitungen doch in M bestimmen soll! diesen punkt haben wir doch hier an keiner stelle berücksichtigt, oder?
und was sagen mir die ergebnisse dann? welche (geometrische) bedeutung haben sie?
viele grüße und herzlichen dank!
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Hallo gigi,
> das bedeutet, ich löse einfach nach der variable auf, die
> im zähler steht und leite anschließend nach der variable
> ab, die im nenner steht, richtig?
>
> dies habe ich für F gemacht und erhalte stets -1.
Betrachte man F allein, dann stimmt das.
>
> das gleiche müsste man analog dann noch einmal für G
> machen, oder?
>
> ach und dann fällt mir ein, dass ich die ableitungen doch
> in M bestimmen soll! diesen punkt haben wir doch hier an
> keiner stelle berücksichtigt, oder?
Das ist richtig.
Im Fall, daß x und y jeweils von z abhängig sein sollen,
ist das Gleichungssystem
[mm]x\left(z\right)+y\left(z\right)+z=0[/mm]
[mm]x^{3}\left(z\right)+y^{3}\left(z\right)-z^{3}=10[/mm]
zu betrachten.
Jede Gleichung differenzierst Du nach z
und erhältst ein Gleichungssystem zur Bestimmung
von [mm]\bruch{dx}{dz}, \ \bruch{dy}{dz}[/mm].
Die erhaltenen Ableitungen sind jetzt in dem besagten Punkt zu betrachten.
Kannst Du die Ableitungen in diesem Punkt nicht bestimmen,
so ist das Gleichungssystem in einer Umgebung dieses Punktes
auch nicht lokal nach x,y auflösbar.
Analog für die anderen Ableitungen.
>
> und was sagen mir die ergebnisse dann? welche
> (geometrische) bedeutung haben sie?
>
> viele grüße und herzlichen dank!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 Di 01.06.2010 | | Autor: | gigi |
> Hallo gigi,
>
> > das bedeutet, ich löse einfach nach der variable auf, die
> > im zähler steht und leite anschließend nach der variable
> > ab, die im nenner steht, richtig?
> >
> > dies habe ich für F gemacht und erhalte stets -1.
>
>
> Betrachte man F allein, dann stimmt das.
>
>
> >
> > das gleiche müsste man analog dann noch einmal für G
> > machen, oder?
> >
> > ach und dann fällt mir ein, dass ich die ableitungen doch
> > in M bestimmen soll! diesen punkt haben wir doch hier an
> > keiner stelle berücksichtigt, oder?
>
>
> Das ist richtig.
>
>
> Im Fall, daß x und y jeweils von z abhängig sein sollen,
> ist das Gleichungssystem
>
> [mm]x\left(z\right)+y\left(z\right)+z=0[/mm]
>
> [mm]x^{3}\left(z\right)+y^{3}\left(z\right)-z^{3}=10[/mm]
>
> zu betrachten.
>
> Jede Gleichung differenzierst Du nach z
> und erhältst ein Gleichungssystem zur Bestimmung
> von [mm]\bruch{dx}{dz}, \ \bruch{dy}{dz}[/mm].
Ich schreibe also:
I: [mm] \bruch{dx}{dz}+ \bruch{dy}{dz}+1=0
[/mm]
II: [mm] \bruch{3(dx)^2}{dz}+\bruch{3(dy)^2}{dz}-3z^2=0
[/mm]
stimmt das soweit? und nun weiß ich ehrlich gesagt gar nicht so richtig, wie man mit diesen ausdrücken umgeht und rechnet. soll ich zB I nach [mm] \bruch{dy}{dz} [/mm] umformen und in II einsetzen? und was mach ich dann weiter?
Und wo ist der Bezug zu dem, was ich vorher oben gemacht habe: [mm] \bruch{dy}{dz}=-1 [/mm] etc. das brauche ich für diese Aufgabe letztlich gar nicht?
> Die erhaltenen Ableitungen sind jetzt in dem besagten Punkt
> zu betrachten.
>
> Kannst Du die Ableitungen in diesem Punkt nicht bestimmen,
> so ist das Gleichungssystem in einer Umgebung dieses
> Punktes
> auch nicht lokal nach x,y auflösbar.
>
> Analog für die anderen Ableitungen.
>
>
> >
> > und was sagen mir die ergebnisse dann? welche
> > (geometrische) bedeutung haben sie?
> >
> > viele grüße und herzlichen dank!
>
>
> Gruss
> MathePower
grüße, gigi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:54 Mi 02.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] (x^3(z))'=3x^2*x' [/mm] wobei heir der Strich für die Ableitung nach z steht.
Entsprechend die anderen Teile.
dein [mm] \bruch{3(dx)^2}{dz} [/mm] macht keinen Sinn.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:39 Mi 02.06.2010 | | Autor: | gigi |
hallo und herzlichen dank.
nun, in I habe ich ja geschrieben: [mm] F_z: [/mm] x(z)+y(z)+1=0 und das dann in [mm] \bruch{dx}{dz}+\bruch{dy}{dz}+1=0 [/mm] umgeformt. (das stimmt, oder?) und dann habe ich dieses prinzip wohl nicht ganz verstanden und folglich falsch auf II übertragen. vielleicht muss also noch einmal jemand beim differenzieren laut für mich denken- es ist schon die kettenregel, die man anwendet, oder? und setze ich M dann ein, erhalte ich [mm] G_z: [/mm] 3 [mm] \bruch{dx}{dz}+\bruch{dy}{dz}-12=0. [/mm] löse ich dann dieses gleichungssystem, so erhalte ich 2 widerschprüche und folgere, dass weder eine auflösbarkeit nach x noch nach y in M vorliegt, richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 Mi 02.06.2010 | | Autor: | FatTony |
$ [mm] \bruch{3(dx)}{dz}*x^2+\bruch{3(dy)}{dz}*y^2-3z^2=0 [/mm] $
So müsste das aussehen.
Mfg, Sylar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:56 Mi 02.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
angenommen x(z)=sin(z)
also [mm] x^3=sin^3(z) [/mm] wie würdest du das denn nach z differnzieren? Auf deine Weise wre das dann 3*cos(z)???
Wenn du mit der Schreibwiese x(z) Schwierigkeiten hast, weil du x immer als Variable siehst, dann denk lieber f(z) aber ob ne fkt x(z), f(z) gigi(z) oder sonst wie heisst ist wirklich nur ein Name
[mm] (gigi^3(z))'=3gigi^2(z)*gigi'(z)
[/mm]
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:47 Mi 02.06.2010 | | Autor: | gfm |
> Hallo
> angenommen x(z)=sin(z)
> also [mm]x^3=sin^3(z)[/mm] wie würdest du das denn nach z
> differnzieren? Auf deine Weise wre das dann 3*cos(z)???
> Wenn du mit der Schreibwiese x(z) Schwierigkeiten hast,
> weil du x immer als Variable siehst, dann denk lieber f(z)
> aber ob ne fkt x(z), f(z) gigi(z) oder sonst wie heisst ist
> wirklich nur ein Name
> [mm](gigi^3(z))'=3gigi^2(z)*gigi'(z)[/mm]
> Gruss leduart
Aber es ist schon bedenklich x(z) neben x(y) in einem Kontext neben ein ander zu verwenden, da die Zuordnung von referenzierendem Zeichen und Referenziertem mehrdeutig ist, wenn man nicht vereinbart, dass dem Zeichen für die Variablen auch eine referenzierende Bedeutung zukommt.
Für mich war das gerade in physikalischen Texten immer ein Greuel, da es viele Verwirrungen stifftete.
LG
gfm
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:42 Mi 02.06.2010 | | Autor: | gfm |
> hallo und herzlichen dank.
>
> nun, in I habe ich ja geschrieben: [mm]F_z:[/mm] x(z)+y(z)+1=0 und
> das dann in [mm]\bruch{dx}{dz}+\bruch{dy}{dz}+1=0[/mm] umgeformt.
> (das stimmt, oder?) und dann habe ich dieses prinzip wohl
> nicht ganz verstanden und folglich falsch auf II
> übertragen. vielleicht muss also noch einmal jemand beim
> differenzieren laut für mich denken- es ist schon die
> kettenregel, die man anwendet, oder? und setze ich M dann
> ein, erhalte ich [mm]G_z:[/mm] 3 [mm]\bruch{dx}{dz}+\bruch{dy}{dz}-12=0.[/mm]
> löse ich dann dieses gleichungssystem, so erhalte ich 2
> widerschprüche und folgere, dass weder eine auflösbarkeit
> nach x noch nach y in M vorliegt, richtig?
Du hast zwei Gleichungen
(I) F(x,y,z)=0
(II) G(x,y,z)=0
für drei Variablen.
Gibts Du einer - etwa z - einen Wert, dann erhälst Du (I) und (II) für sich alleine betrachtet je eine Lösungsmannigfaltigkeit (also nicht nur ein Wertepaar) für (x,y). Und aus diesen beiden suchst Du das Paar (x,y), welches in beiden enthalten ist. Im Endeffekt erhältst Du so zwei Zuordnungen
[mm] z\mapsto [/mm] x
[mm] z\mapsto [/mm] y
also zwei Funktionen (x und y oben an f sind kein Potenzieren, sondern sollen zum Funktionsnamen gehören)
(*) [mm] x=f^{x}(z)
[/mm]
(**) [mm] y=f^{y}(z)
[/mm]
mit denen man zu einem vorgelegten z das passende x und y ausrechnen kann, so dass beide Gleichungen (I) und (II) erfüllt sind:
(I') [mm] F(f^{x}(z),f^{y}(z),z)=0 [/mm]
(II') [mm] G(f^{x}(z),f^{y}(z),z)=0 [/mm]
Diese beiden Gleichungen bedeuten, dass, nachdem man überall dort, wo x und y in den Gleichungen (I) und (II) auftauchen, diese durch (*) und (**) ersetzt, sie identisch erfüllt sind, d.h., wenn man das im konkreten Fall ausführt, immer NULL auf der linken Seite übrig bleibt, d.h egal, was man für einen Wert für z einsetzt, es kommt immer null heraus. Dort steht also auf komplizierte Weise 0=0.
Nun schreibt man 0=0 noch komplizierter, indem man nach z differenziert.
[mm]\frac{d}{dz} \Big( F(f^{x}(z),f^{y}(z),z) \Big) =0[/mm]
Da man in F, wo ursprünglich ein x und y stand, eine Formel mit z eingesetzt hat, muss man partielles Ableiten und die Kettenregel beachten:
[mm] \Big[\frac{\partial F}{\partial x}\frac{df^{x}}{dz}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{df^{y}}{dz}+\frac{\partial F}{\partial z}\Big]\Big|_{x=f^{x}(z), y=f^{y}(z)}=0
[/mm]
Um F partiell nach x und y ableiten zu können, muss man sich das Einsetzen von (*) und (**) rückgängig gemacht denken, dann das Differenzieren in der eckigen Klammer ausführen und zum Schluß wieder x und y durch (*) und (**) ersetzen (ansonsten kommt nicht Null heraus sondern ein Ausdruck mit x,y, und z).
Das Gleiche machst Du für G auch und erhälst zwei Gleichungen (ich hab jetzt mal überall ausfürlich die auftretenden Variablennamen mitgeschrieben):
(I'') [mm] \Big[\frac{\partial F(x,y,z)}{\partial x}\frac{df^{x}(z)}{dz}+\frac{\partial F(x,y,z)}{\partial y}\frac{df^{y}(z)}{dz}+\frac{\partial F(x,y,z)}{\partial z}\Big]\Big|_{x=f^{x}(z), y=f^{y}(z)}=0
[/mm]
(II'') [mm] \Big[\frac{\partial G(x,y,z)}{\partial x}\frac{df^{x}(z)}{dz}+\frac{\partial G(x,y,z)}{\partial y}\frac{df^{y}(z)}{dz}+\frac{\partial G(x,y,z)}{\partial z}\Big]\Big|_{x=f^{x}(z), y=f^{y}(z)}=0
[/mm]
[mm] \frac{df^{x}(z)}{dz} [/mm] z.B. ist jetzt das, was Du in Deiner Rechnung mit [mm] \frac{dx}{dz} [/mm] bezeichnest, was ich nicht so gerne mach, da ich lieber verschiedene Zeichen für Variablen und Funktionen verwende, die im gleichen Kontext nebeneinander auftauchen.
Nun sollst Du das Ganze ja auswerten für einen zahlenmäßig konkret gegebenen Punkt [mm] (x_0,y_0,z_0):
[/mm]
(I''') [mm] \frac{\partial F(x_0,y_0,z_0)}{\partial x}\frac{df^{x}(z_0)}{dz}+\frac{\partial F(x_0,y_0,z_0)}{\partial y}\frac{df^{y}(z_0)}{dz}+\frac{\partial F(x_0,y_0,z_0)}{\partial z}=0
[/mm]
(II''') [mm] \frac{\partial G(x_0,y_0,z_0)}{\partial x}\frac{df^{x}(z_0)}{dz}+\frac{\partial G(x_0,y_0,z_0)}{\partial y}\frac{df^{y}(z_0)}{dz}+\frac{\partial G(x_0,y_0,z_0)}{\partial z}=0
[/mm]
[mm] \frac{df^{x}(z_0)}{dz} [/mm] und [mm] \frac{df^{y}(z_0)}{dz} [/mm] sind dabei die gesuchten Größen und die partiellen Ableitungen von F und G sind bekannt. Das Ganze hat also die Struktur eine lineraren Gleichungsystems
(***) [mm] \begin{cases} a_{11} u_1 +a_{12} u_2 = b_1 \\ a_{21} u_1 +a_{22} u_2 = b_2\end{cases}
[/mm]
oder auch
[mm] \pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} }\vektor{u_1 \\ u_2}=\vektor{b_1 \\ b_2}
[/mm]
oder noch kürzer Au=b mit der Matrix A und den Vektoren u und b.
Das Lösen bedeutet den Übergang zu [mm] u=A^{-1}b [/mm] mit der zu A inversen Matrix [mm] A^{-1}. [/mm] Das ist aber nur möglich wenn
[mm] Det(A)=a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}\not=0 [/mm] gilt.
Wenn Du (I''') und (II''') in der Form (***) mit einer knapperen Notation für die Ableitungen und ohne das Einsetzen des konkreten Punktes zu schreiben gestattest, erhält man
(z) [mm] \begin{cases} F_x f^{x}_z+F_y f^{y}_z = -F_z\\ G_x f^{x}_z+G_y f^{y}_z = -G_z\end{cases}.
[/mm]
Wie oben erwähnt, kommst Du hier nur weiter, wenn
[mm] F_xG_y-F_yG_x\not=0 [/mm] gilt.
Nun ist
[mm] F_x=1, F_y=1, G_x=3x^2, G_y=3y^2 [/mm] und damit lautet die Bedingung
[mm] 3x^2-3y^2\not=0.
[/mm]
Für den gegebenen Punkt ist x=y=1 und somit ist die Bedingung nicht erfüllt, d.h. ein Auflösen gemäß (*) und (**) unter Verwendung von z als unabhängiger Variable am gegebenen Punkt nebst Bestimmung der Ableitungen ist nicht möglich.
Wenn Du nun y als Unabhängige Variable untersuchen willst, läuft das genauso. Statt (z) hast Du nun
(y) [mm] \begin{cases} F_x f^{x}_y+F_z f^{z}_y = -F_y\\ G_x f^{x}_y +G_z f^{z}_y = -G_y\end{cases}
[/mm]
Jetzt muss
[mm] F_xG_z-F_zG_x\not=0
[/mm]
erfüllt sein.
Mit [mm] F_z=1 [/mm] und [mm] G_z=-3z^2 [/mm] erhält man
[mm] -3z^2-3x^2\not=0
[/mm]
als Bedingung, was für z=-2 und x=1 erfüllt ist. Damit kannst Du mit dem Lösen von (y) weitermachen:
(y') [mm] \begin{cases} f^{x}_y+f^{z}_y = -1\\ 3f^{x}_y -12f^{z}_y = -3\end{cases}
[/mm]
Also [mm] f^{z}_y=0 [/mm] und [mm] f^{x}_y=-1, [/mm] womit auch klar ist warum (z) nicht funktionierte. [mm] f^{y}_z, [/mm] wenn es existierte an diesem Punkt, wäre der Kehrwert von [mm] f^{z}_y, [/mm] was an dieser Stelle nicht möglich ist.
Für (x) machts Du es genauso oder bemerkst, dass [mm] f^{y}_x [/mm] der Kehrwert von [mm] f^{x}_y=-1 [/mm] ist und dass [mm] f^{z}_x= f^{z}_y f^{y}_x=0*(-1)=0 [/mm] gelten muss.
LG
gfm
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:06 Mo 31.05.2010 | | Autor: | gfm |
> Gegeben sei das Gleichungssystem F(x,y,z)= x+y+z=0,
> G(x,y,z)= [mm]x^3+y^3-z^3=10[/mm] und M(1,1,-2)
>
> Bestimmen Sie in M die jeweiligen Ableitungen
> [mm]\bruch{dx}{dz}, \bruch{dy}{dz}; \bruch{dy}{dx}, \bruch{dz}{dx}; \bruch{dx}{dy}, \bruch{dz}{dy}.[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich weiß ja, wie man "normal" ableitet, da steht dann aber
> immer nur etwas wie [mm]\bruch{df}{dx}[/mm] und man hat eine Fkt
> f(x) gegeben. Und hier leitet man ja anscheinend nach 2
> Variablen ab- aber wie genau und was bedeutet das? Ich soll
> ja hier sicherlich nicht einfach [mm]\bruch{F_x}{F_z}[/mm] usw
> rechnen oder?
>
> Herzlichen Dank für jede Hilfe!
Wenn Du eine reellwertige Gleichung F(x,y)=0 für zwei reelle Variablen hast, dann definiert das unter entsprechenden Voraussetzungen eine Funktion y=f(x), die von einer Variablen abhängt. Denn wenn Du x einen bestimmenten Wert gibts, kann y nicht mehr beliebig sein, sondern hängt dann von x ab. Wenn Du eine analoge Gleichung F(x,y,z)=0 hast, definiert das wiederum eine Funktion z=f(x,y), die nun von zwei Variablen abhängt.
Wenn Du zwei Gleichungen F(x,y,z)=0 und G(x,y,z)=0, erhälst Du im ersten Schrift zwei Funktionen z=f(x,y) und z=g(x,y), da aber da z aus der ersten auch die zweite Gleichung lösen soll und umgekehrt, muss noch gelten f(x,y)=g(x,y), was dann wiederum zu einer Funktion y=h(x) führt.
Wenn man also eine Gleichung in n+m Variablen hat, definiert das einen Funktion in n+m-1 Variablen. Für jede weitere Gleichung reduziert sich die Anzahl der unabhängigen Variablen um eins. Hast Du also m Gleichungen in n+m Variablen, liegen nur noch n unabhängige Variablen vor, bzw. daraus kannst Du m Funktionen gewinnen, die von n Variablen abhängen:
Im allgemeinen hat man also einen Satz von m Gleichungen F(x,y)=0 vorgelegt, also [mm] F_1(x,y)=0, F_2(x,y)=0,...,F_m(x,y)=0, [/mm] wobei [mm] y=(y_1,y_2,...,y_m) [/mm] und [mm] x=(x_1,x_2,...,x_n) [/mm] die entsprächenden Sätze der Variablen seien sollen. Die Aufgabe besteht nun darin die Funktionen y=f(x), also [mm] y_1=f_1(x_1,x_2,...,x_n), y_2=f_2(x_1,x_2,...,x_n),...,y_m=f_m(x_1,x_2,...,x_n) [/mm] zu finden, so dass F(x, f(x))=0 identisch erfüllt ist, um dann Aussagen über die Ableitungen von f(x) machen zu können.
Wenn f gefunden ist und man [mm] F_i(x, [/mm] f(x)) nach [mm] x_j [/mm] partiell ableitet, erhält man, da ja [mm] F_i(x, [/mm] f(x)) identisch verschwindet, mit der Kettenregel
[mm] [F_{i,x_j}+\summe_{k=1}^{m}F_{i,y_k}f_{k,x_j}]\Big|_{y=f(x)}=0; [/mm] i=1,...,m;j=1,...,n (*)
wenn [mm] ",x_j" [/mm] und [mm] ",y_j" [/mm] die entsprechenden partiellen Ableitungen bezeichnen.
Aus (*) gewinnst Du dann durch Aulösen nach den [mm] f_{k,x_j} [/mm] die Ableitungen, ausgedrückt durch die partiellen Ableitungen der [mm] F_i. [/mm] Da (*) aber noch f(x) enthält, kann man die Werte der Ableitungen so nur explizit angeben, wenn man f(x) explizit hat, dann braucht man die ganze Nummer aber so nicht (aber ist für gewisse andere allgemeine Betrachtungen nützlich), oder man hat - wie in deinem Fall - einen konkreten Punkt [mm] (x^0,y^0) [/mm] gegeben, für etwas auszurechenen ist:
Sei [mm] x_1=x, y_1=y [/mm] und [mm] y_2=z [/mm] sowie [mm] F_1=F [/mm] und [mm] F_2=G:
[/mm]
[mm] F_1(x_1,y_1,y_2)=x_1+y_1+y_2=0
[/mm]
[mm] F_2(x_1,y_1,y_2)=x_1^3+y_1^3-y_2^3-10=0
[/mm]
[mm] F_{1,x_1}=1
[/mm]
[mm] F_{1,y_1}=1
[/mm]
[mm] F_{1,y_2}=1
[/mm]
[mm] F_{2,x_1}=3x_1^2
[/mm]
[mm] F_{2,y_1}=3y_1^2
[/mm]
[mm] F_{2,y_2}=-3y_2^3
[/mm]
[mm] [F_{1,x_1}+\summe_{k=1}^{2}F_{1,y_k}f_{k,x_1}]\Big|_{y=f(x_1)}=0
[/mm]
[mm] [F_{2,x_1}+\summe_{k=1}^{2}F_{2,y_k}f_{k,x_1}]\Big|_{y=f(x_1)}=0
[/mm]
[mm] 1+f_{1,x_1}+f_{2,x_1}=0
[/mm]
[mm] 3x_1^2+3y_1^2*f_{1,x_1}-3y_2^3*f_{2,x_1}=0
[/mm]
Mit [mm] (x_1,y_1,y_2)=M=(1,1,-2) [/mm] und mit [mm] f_{1,x_1}=f_1' [/mm] und [mm] f_{2,x_1}=f_2' [/mm]
wird daraus
[mm] 1+f_1'+f_2'=0
[/mm]
[mm] 1+f_1'-8f_2'=0
[/mm]
[mm] f_2'=dz/dx=0
[/mm]
[mm] f_1'=dy/dx=-1
[/mm]
wenn ich mich nicht verrechnet habe...
Beachte auch den Nachsatz...
LG
gfm
BTW: [mm] F_{i,y_k} [/mm] als Matrix aufgefaßt, muss invertiertbar sein. Wenn [mm] \operatorname{Det}(F_{i,y_k})\not=0 [/mm] für ein [mm] (x^0,y^0), [/mm] dann exisiert f in einer gewissen Umgebung um [mm] x^0 [/mm] herum. Wenn F selber stetig k-mal [mm] (k\in \IN \cup \{\infty\}) [/mm] partiell diff'bar ist, ist f es auch. k muß mindestens eins sein.
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