www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Ableitungen holomorpher Fkt.
Ableitungen holomorpher Fkt. < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Komplexe Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Ableitungen holomorpher Fkt.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:01 So 27.06.2010
Autor: jxn

Aufgabe 1
Man bestimme alle Funktionen f [mm] \in H(\IC), [/mm] die |f'(z)| < |f(z)| für alle [mm] z\in\IC [/mm] erfüllen.

Aufgabe 2
Es sei [mm] \Omega\subset\IC [/mm] eine offene Menge, [mm] f\in H(\Omega). [/mm] Man zeige:
1) Für alle [mm] z\in\Omega [/mm] gibt es ein r>0 mit der folgenden Eigenschaft: Es gibt eine holomorphe Funktion g: [mm] B_r(z)\to\IC, [/mm] so dass f=g'.
2) Falls [mm] \Omega [/mm] konvex ist, dann gibt es eine holomorphe Funktion g: [mm] \Omega\to\IC [/mm] mit f=g'.

Hallo zusammen!

Zu holomorphen Funktionen ist bekannt:
f ist holomorph ist dazu äquivalent, dass
1) [mm] \limes_{z\rightarrow\z_0} \bruch{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} [/mm] existiert
2) f ist reell diffbar, Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen sind erfüllt
3) f ist analytisch
4) Integral von f über eine Schleife [mm] \gamma [/mm] ist = 0.
Ferner sind der Satz von Liouville und der Identitätssatz bekannt.

Zu Aufgabe 1:
Konkret fallen mir erstmal alle konstanten Funktionen ein, und alle Funktionen der Art e^(a*z) mit 0<a<1. Aber das ist ja wenig systematisch ausgearbeitet.

Zu Aufgabe 2:
Hier fehlt mir leider komplett ein guter Ansatz. Aus den C-R-DGL kann man folgern dass, wenn man f=u+iv schreibt, dass dann [mm] f'=u_x+iv_x [/mm] sein muss.
Bringt mich das bei einer der Aufgaben weiter?

Über einen Denkanstoß würde ich mich sehr freuen.

Gruß,
jxn

        
Bezug
Ableitungen holomorpher Fkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:51 Mo 28.06.2010
Autor: fred97


> Man bestimme alle Funktionen f [mm]\in H(\IC),[/mm] die |f'(z)| <
> |f(z)| für alle [mm]z\in\IC[/mm] erfüllen.
>  Es sei [mm]\Omega\subset\IC[/mm] eine offene Menge, [mm]f\in H(\Omega).[/mm]
> Man zeige:
>  1) Für alle [mm]z\in\Omega[/mm] gibt es ein r>0 mit der folgenden
> Eigenschaft: Es gibt eine holomorphe Funktion g:
> [mm]B_r(z)\to\IC,[/mm] so dass f=g'.
>  2) Falls [mm]\Omega[/mm] konvex ist, dann gibt es eine holomorphe
> Funktion g: [mm]\Omega\to\IC[/mm] mit f=g'.
>  Hallo zusammen!
>  
> Zu holomorphen Funktionen ist bekannt:
>  f ist holomorph ist dazu äquivalent, dass
>  1) [mm]\limes_{z\rightarrow\z_0} \bruch{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}[/mm]
> existiert
>  2) f ist reell diffbar,
> Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen sind erfüllt
>  3) f ist analytisch
>  4) Integral von f über eine Schleife [mm]\gamma[/mm] ist = 0.
>  Ferner sind der Satz von Liouville und der Identitätssatz
> bekannt.
>  
> Zu Aufgabe 1:
>  Konkret fallen mir erstmal alle konstanten Funktionen ein,
> und alle Funktionen der Art e^(a*z) mit 0<a<1. Aber das ist
> ja wenig systematisch ausgearbeitet.



Wegen  |f'(z)| < |f(z)| für alle $ [mm] z\in\IC [/mm] $, ist f  auf [mm] \IC [/mm] nullstellenfrei, somit ist g:=f'/f eine ganze Funktion mit |g| <1 auf [mm] \IC. [/mm] Was sagt Liouville dazu ?


>  
> Zu Aufgabe 2:
>  Hier fehlt mir leider komplett ein guter Ansatz. Aus den
> C-R-DGL kann man folgern dass, wenn man f=u+iv schreibt,
> dass dann [mm]f'=u_x+iv_x[/mm] sein muss.
>  Bringt mich das bei einer der Aufgaben weiter?



1) folgt aus 2) !!

Zu 2) Wähle [mm] z_0 \in \Omega [/mm] fest. Für z [mm] \in \Omega [/mm] sei [mm] \gamma_z(t) [/mm] := [mm] z_0+t(z-z_0) [/mm]  (t [mm] \in [/mm] [0,1])

Setze    $g(z):= [mm] \integral_{\gamma_z}^{}{f(w) dw}$ [/mm]


FRED

>  
> Über einen Denkanstoß würde ich mich sehr freuen.
>  
> Gruß,
>  jxn


Bezug
                
Bezug
Ableitungen holomorpher Fkt.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:18 Mo 28.06.2010
Autor: jxn

Damit kann ich was anfangen. Dankeschön.

Gruß,
jxn

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Komplexe Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]