Ableitungen nachweisen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:24 Mi 09.11.2005 | | Autor: | GetBack |
Hallo Leute,
ich hab da mal wieder ein Problem. Es geht um folgendes:
Ich soll für alle [mm] n \in \mathbb{N} [/mm] folgende Gleichungen bestätigen
[mm] {d^j \over dx^j} \left(x^2 -1 \right)^n = 0 [/mm] für [mm] 0 \le j < n, x=\pm 1 [/mm] und [mm] {d^n \over dx^n} \left(x^2 -1 \right)^n = 2^n \cdot n! [/mm] für [mm] x=1 [/mm]
An Beispielen habe ich mir angeschaut, dass diese Gleichungen stimmen, aber wie kann ich diese nachweisen?
Ich habe auch versucht unterschiedlich an die Aufgabe ranzugehen: Zuerst versuchte ich es nur über Ableitungen und dann über die binomische Formel [mm] \left(x^2 -1 \right)^n = \sum_{k=0}^n {(-1)^k {n \choose k} x^{2(n-k)}} [/mm] und dann erst über die Ableitung. Aber beide Wege liefen bei mir ins Leere.
Könnt ihr mir da helfen? Vielen Dank schonmal im Voraus.
GetBack
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Hallo!
Hast du es schon mal mit vollständiger Induktion versucht? Mit Hilfe der Produktformel sollte das eigentlich zum Ziel führen...
Gruß, banachella
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:07 Mi 09.11.2005 | | Autor: | GetBack |
Hallo Banachella,
danke für deinen Tipp. Die erste Gleichung kann ich durch vollständige Induktion über j recht einfach lösen. Aber die zweite Gleichung bereitet mir immer noch Kopfzerbrechen. Ich schreibe einfach mal, was ich schon habe:
Beweis durch vollständige Induktion über n von [mm] {d^n \over dx^n} \left(x^2 -1 \right)^n = 2^n \cdot n! [/mm] für [mm] x=1 [/mm]
IA: n=1: [mm] {d \over dx} \left(x^2 -1 \right) = 2x [/mm] dann folgt für [mm] x=1: \quad 2=2^1 \cdot 1! [/mm]
IV: [mm] {d^n \over dx^n} \left(x^2 -1 \right)^n = 2^n \cdot n! [/mm] für [mm] x=1 [/mm] gelte für ein [mm] n \in \mathbb{N} [/mm].
IS:
[mm] {d^{n+1} \over dx^{n+1}} \left(x^2 -1 \right)^{n+1} = {d^{n+1} \over dx^{n+1}} \left( \sum_{k=0}^{n+1} {(-1)^k {n+1 \choose k} x^{2(n+1-k)}} \right)[/mm]
[mm]= {d^{n} \over dx^{n}} \left( {d \over dx} \left( \sum_{k=0}^{n+1} {(-1)^k {n+1 \choose k} x^{2(n+1-k)}} \right) \right)[/mm]
[mm]= {d^{n} \over dx^{n}} \left( \sum_{k=0}^{n} {(-1)^k {n+1 \choose k} \cdot 2(n+1-k) \cdot x^{2(n+1-k)-1}} \right)[/mm]
[mm]= 2 (n+1) \cdot {d^{n} \over dx^{n}} \left( \sum_{k=0}^{n} {(-1)^k {n \choose k} x^{2(n-k)+1}} \right) [/mm]
Wie man sieht, habe ich in der Summe ein x zuviel! Habe ich da einen Fehler gemacht oder fehlt mir einfach noch ein Schritt?
GetBack
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:49 Sa 12.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo GetBack!
Leider konnte Dir keiner hier mit Deinem Problem in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Gruß
Loddar
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