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Ableitungen von Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:57 Mi 22.10.2008
Autor: xsara

Aufgabe
Bilden Sie die Ableitung [mm] f´(x)\equiv\bruch{df(x)}{dx} [/mm] folgender Funktionen:
a) [mm] f(x)=\bruch{1}{2}x^{4}+\bruch{1}{6}x^{3}-x^{2}+2x-17 [/mm]
b) [mm] f(x)=^3\wurzel{ax^{3}+2bx-c} [/mm]
c) [mm] f(x)=\bruch{x^{3}}{cos(x)} [/mm]
d) [mm] f(x)=x^{2}tan(x) [/mm]
e) [mm] f(x)=x^{2,5}e^{x} [/mm]
f) [mm] f(x)=ln(x)log_{10}(x/2) [/mm]

Wahrscheinlich handelt es sich bei den Aufgaben um recht einfache Aufgaben. Dazu habe ich mir überlegt, dass man die Aufgaben evtl. folgendermaßen lösen kann:

a) Anwendung der Summenregel
   [mm] f´(x)=2x^{3}+\bruch{1}{2}x^{2}-2x+2 [/mm]

b) Anwendung der Kettenregel
    [mm] y(t)=t^{\bruch{1}{3}} y'(t)=\bruch{1}{3}t^{-\bruch{2}{3}} [/mm]
    [mm] t(x)=ax^{3}+2bx-c t'(x)=3ax^{2}+2b [/mm]
   [mm] f'(x)=\bruch{1}{3}(ax^{3}+2bx-c)^{-\bruch{2}{3}}(3ax^{2}+2b) [/mm]
          [mm] =\bruch{3ax^{2}+2b}{3\*^{3}\wurzel(ax^{3}+2bx-c)^{2}} [/mm]

c) Anwendung der Quotientenregel
   [mm] u(x)=x^{3} u'(x)=3x^{2} [/mm]
   v(x)=cos(x)          v'(x)=-sin(x)
   [mm] f'(x)=\bruch{3x^{2}(-sin(x))-x^{3}cos(x)}{cos^{2}(x)} [/mm]

d) Anwendung der Produktregel
   [mm] u=x^{2} [/mm]          u'(x)=2x
   v=tan(x)           [mm] v'(x)=\bruch{1}{cos^{2}(x)} [/mm]
   [mm] f'(x)=2x\bruch{sin(x)}{cos(x)}+x^{2}\bruch{1}{cos^{2}(x)} [/mm]

e) Anwendung der Produktregel
  [mm] u=x^{2,5} u'(x)=2,5x^{1,5} [/mm]
  [mm] v=e^{x} v'(x)=e^{x} [/mm]
  [mm] f'(x)=2,5x^{1,5}e^{x}+x^{2,5}e^{x} [/mm]

f) Anwendung der Produktregel
   u=ln(x)                 [mm] u'(x)=\bruch{1}{x} [/mm]
   [mm] v=log_{10}(x/2) [/mm]             v'(x)=

Sind die Aufgaben a-e richtig gelöst? Kann man irgendwelche Kniffe anwenden?
Kann mir jemand mit der Ableitung von [mm] log_{10}(x/2) [/mm] weiterhelfen?

Vielen Dank!

        
Bezug
Ableitungen von Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:08 Mi 22.10.2008
Autor: Sigrid

Hallo xsara,

> Bilden Sie die Ableitung [mm]f´(x)\equiv\bruch{df(x)}{dx}[/mm]
> folgender Funktionen:
>  a) [mm]f(x)=\bruch{1}{2}x^{4}+\bruch{1}{6}x^{3}-x^{2}+2x-17[/mm]
>  b) [mm]f(x)=^3\wurzel{ax^{3}+2bx-c}[/mm]
>  c) [mm]f(x)=\bruch{x^{3}}{cos(x)}[/mm]
>  d) [mm]f(x)=x^{2}tan(x)[/mm]
>  e) [mm]f(x)=x^{2,5}e^{x}[/mm]
>  f) [mm]f(x)=ln(x)log_{10}(x/2)[/mm]
>  Wahrscheinlich handelt es sich bei den Aufgaben um recht
> einfache Aufgaben. Dazu habe ich mir überlegt, dass man die
> Aufgaben evtl. folgendermaßen lösen kann:
>  
> a) Anwendung der Summenregel
>     [mm]f´(x)=2x^{3}+\bruch{1}{2}x^{2}-2x+2[/mm]

[ok]

>  
> b) Anwendung der Kettenregel
>      [mm]y(t)=t^{\bruch{1}{3}} y'(t)=\bruch{1}{3}t^{-\bruch{2}{3}}[/mm]
>  
>     [mm]t(x)=ax^{3}+2bx-c t'(x)=3ax^{2}+2b[/mm]
>    
> [mm]f'(x)=\bruch{1}{3}(ax^{3}+2bx-c)^{-\bruch{2}{3}}(3ax^{2}+2b)[/mm]
>            
> [mm]=\bruch{3ax^{2}+2b}{3\*^{3}\wurzel(ax^{3}+2bx-c)^{2}}[/mm]
>  

[ok]

> c) Anwendung der Quotientenregel
>     [mm]u(x)=x^{3} u'(x)=3x^{2}[/mm]
>     v(x)=cos(x)        
>  v'(x)=-sin(x)
>     [mm]f'(x)=\bruch{3x^{2}(-sin(x))-x^{3}cos(x)}{cos^{2}(x)}[/mm]

Hier stimmt was nicht. Die Quotientenregel lautet doch:

$ f'(x) = [mm] \bruch{v\ u' - u\ v'}{v^2} [/mm] $

>  
> d) Anwendung der Produktregel
>     [mm]u=x^{2}[/mm]          u'(x)=2x
>     v=tan(x)           [mm]v'(x)=\bruch{1}{cos^{2}(x)}[/mm]
>    
> [mm]f'(x)=2x\bruch{sin(x)}{cos(x)}+x^{2}\bruch{1}{cos^{2}(x)}[/mm]
>  

[ok] Du könntest höchstens noch das Ergebnis in einen Bruch umwandeln.

> e) Anwendung der Produktregel
>    [mm]u=x^{2,5} u'(x)=2,5x^{1,5}[/mm]
>    [mm]v=e^{x} v'(x)=e^{x}[/mm]
>  
>   [mm]f'(x)=2,5x^{1,5}e^{x}+x^{2,5}e^{x}[/mm]

[ok] Hier könntest Du noch $ [mm] x^{1,5} \cdot e^x [/mm] $ ausklammern.

>  
> f) Anwendung der Produktregel
>     u=ln(x)                 [mm]u'(x)=\bruch{1}{x}[/mm]
>     [mm]v=log_{10}(x/2)[/mm]             v'(x)=


> Sind die Aufgaben a-e richtig gelöst? Kann man irgendwelche
> Kniffe anwenden?
> Kann mir jemand mit der Ableitung von [mm]log_{10}(x/2)[/mm]
> weiterhelfen?

Denk an die Gleichung $ [mm] \lg [/mm] x = [mm] \bruch{\ln x}{\ln10} [/mm] $

Gruß
Sigrid

>  
>  
> Vielen Dank!


Bezug
                
Bezug
Ableitungen von Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:37 Fr 24.10.2008
Autor: xsara

Zu c) müsste die Lösung doch dann wie folgt lauten:
[mm] f'(x)=\bruch{3^{2}cosx-x^{3}(-sinx)}{cos^{2}x} [/mm]
Stimmt das?

Bei f) bin ich mir gar nicht sicher.
[mm] f(x)=lnxlog_{10}(\bruch{x}{2})=lnx\bruch{log_{10}x}{log_{10}2}=\bruch{1}{log_{10}2ln10}lnxlnx [/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1}{log_{10}2ln10}\bruch{1}{x}\bruch{1}{x}=bruch{1}{log_{10}2ln10}\bruch{1}{x^{2}} [/mm]

Vielen Dank fürs Nachrechnen.

Bezug
                        
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Ableitungen von Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:51 Fr 24.10.2008
Autor: Teufel

Hi!

Außer dem vergessenen x [mm] (3\red{x}²) [/mm] stimmt c)! Und du kannst noch Minus und Minus im Zähler zu Plus zusammenfassen.

Und hier kannst du, wie schon gesagt wurde, folgendes verwenden:
[mm] log_{10}x=\bruch{lnx}{ln10} [/mm]

In deinem Fall müsstest du nur statt x dann [mm] \bruch{x}{2} [/mm] einsetzen! Du hast da irgendwie was vertauscht. :)
Das schaffst du schon noch!

Eventuell hilft dir auch noch, dass [mm] ln\bruch{a}{b}=lna-lnb [/mm] ist.

[anon] Teufel

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