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| Aufgabe | In einem kugelförmigem Ballon werden pro Sekunde [mm] 50cm^3 [/mm] Gas gepumpt. (Ballon bleibt kugelförmigund Gasdruck ist konstant)
a) Wie groß ist die Änderungsrate des Ballonvolumens relativ zum Radius?
b) Wie groß ist die Änderungsrate des ballonvolumens relativ zur Ballonoberfläche?
c) Mit welcher Geschwindigkeit wächst der Ballon zu dem Zeotpunkt, an dem der Ballon einen Radius von 5cm hat?
(Tipp: Kettenregel geschickt einsetzen) |
So...ich nehme mal an, ich muss hier zuerstmal eine Funktion finden.
f(x):= 50x
Aber wie soll ich da die Kettenregel anwenden?
Grüße
Mathegirl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:10 So 17.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathegirl!
Bitte neue (unabhängige) Fragen auch wieder in neuen Threads posten.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:18 So 17.01.2010 | | Autor: | Mathegirl |
Sorry, war ein Versehen, habe es selbst auch gerade bemerkt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:34 So 17.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> In einem kugelförmigem Ballon werden pro Sekunde [mm]50cm^3[/mm]
> Gas gepumpt. (Ballon bleibt kugelförmigund Gasdruck ist
> konstant)
>
> a) Wie groß ist die Änderungsrate des Ballonvolumens
> relativ zum Radius?
>
> b) Wie groß ist die Änderungsrate des ballonvolumens
> relativ zur Ballonoberfläche?
>
> c) Mit welcher Geschwindigkeit wächst der Ballon zu dem
> Zeotpunkt, an dem der Ballon einen Radius von 5cm hat?
>
> (Tipp: Kettenregel geschickt einsetzen)
> So...ich nehme mal an, ich muss hier zuerstmal eine
> Funktion finden.
>
> f(x):= 50x
>
> Aber wie soll ich da die Kettenregel anwenden?
Du musst dir die vorkommenden Größen und ihre Beziehungen hinschreiben. Wie hängt die Oberfläche mit dem Radius zusammen, wie das Volumen mit dem Radius. Und welche Größe ist in $f(x) = 50 x$ der Wert von $f(x)$ und von x?
Viele Grüße
Rainer
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das habe ich ja gemacht:
also x ist die Anzahl der Sekunden
[mm] 50cm^3 [/mm] ist das Gas, was pro sekunde in den Ballon gelangt
Oberfläche und Volumen vergrößern sich, wenn sich der Radius vergrößert, bzw. umgekehrt.
Aber welchen Ausdruck ich dafür finden kann, daruaf komme ich gerade nicht. Vielleicht beiße ich mich aber auch gerade daran fest,dass ich den Tipp mit der Kettenregel nicht umsetzen kann.
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:31 So 17.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathegirl!
Bevor Du hier an Kettenregeln denkst, solltest Du zunächst mal die Formeln für das Volumen bzw. die Oberfläche einer Kugel (in Abhängigkeit des Radius) aufstellen.
Gruß
Loddar
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Das hab ich ja schon alles gemacht, nur ich komme damit einfach nicht weiter....
[mm] V=\bruch{4}{3}\pi r^3
[/mm]
[mm] O=4\pi r^3
[/mm]
Aber damit komme ich nicht voran...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:04 So 17.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Das hab ich ja schon alles gemacht, nur ich komme damit
> einfach nicht weiter....
>
> [mm]V=\bruch{4}{3}\pi r^3[/mm]
> [mm]O=4\pi r^3[/mm]
>
> Aber damit komme ich nicht voran...
Da fehlt dir nur ein Schritt.
Also: Alle Größen sind zeitabhängig, schreiben wir das auch hin:
(1) [mm] V(t) = \bruch{4}{3}\pi r(t)^3 [/mm]
(2) [mm] O(t) = 4\pi r(t)^2 [/mm]
Außerdem hast du eine konstante Änderungsrate des Volumens von 50cm$^3$/s:
(3) [mm] V'(t) = 50 \bruch{\mathrm{cm^3}}{\mathrm{s}} [/mm].
Nun nimm dir die Gleichung (1) für V und leite nach t ab. (Kettenregel!)
Das Ergebnis der Ableitung ist $V'(t)$, du kannst es also in (3) Einsetzen.
Kommst du nun weiter?
Viele Grüße
Rainer
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Warum hast du denn bei Oberfläche [mm] t^2 [/mm] und nicht [mm] t^3? [/mm] oder war das ein Tippfehler?
und warum ist die hoch 3 hinter dem t und nicht bei dem r? geht das so einfach?
und warum ist die Änderungsrate [mm] 50cm^3/s [/mm] als V´also als erste Ableitung geschrieben?
Trotzdem sehe ich da nicht die Kettenregel beim Ableiten, viel ehr die Produktregel.??
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> Warum hast du denn bei Oberfläche [mm]t^2[/mm] und nicht [mm]t^3?[/mm] oder
> war das ein Tippfehler?
Hallo,
ja, bei Dir.
[mm] O=4\pi r^2.
[/mm]
>
> und warum ist die hoch 3 hinter dem t und nicht bei dem r?
> geht das so einfach?
Genauer: [mm] (r(t))^2
[/mm]
>
> und warum ist die Änderungsrate [mm]50cm^3/s[/mm] als V´also als
> erste Ableitung geschrieben?
Weil das die Änderung des Volumens ist. (Tangentensteigung)
>
>
> Trotzdem sehe ich da nicht die Kettenregel beim Ableiten,
> viel ehr die Produktregel.??
Tja. aber [mm] (r(t))^3 [/mm] ist nunmal eine Verkettung - es sei denn, Du schreibst es als Produkt.
Gruß v. Angela
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ja jetzt versteh ich es, wieso die kettenregel Anwendung finden soll. Du hast ja jetzt die Klammern richtig gesetzt, vorher sah es für mich aus wie ein Produkt.
demzufolge ist die Ableitung mit der kettenregel:
[mm] 4\pi(r(t))^2* [/mm] r
Aber das mit dem einsetzen vertseh ich nicht. bzw. weiß ich gar nicht, was genau ich bei Teilaufgabe 1-3 jeweilsmachen soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:59 Mo 18.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Die Ableitung von $ [mm] (r(t))^3 [/mm] $ ist
[mm] $3*r(t)^2*r'(t)$
[/mm]
FRED
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Es ging doch aber um die Ableitung von V(t)= [mm] \bruch{4}{3}\pi (r(t))^3 [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:04 Mo 18.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Es ging doch aber um die Ableitung von V(t)=
> [mm]\bruch{4}{3}\pi (r(t))^3[/mm]
Bitteschön: $V'(t) = 4* [mm] \pi *r(t)^2*r'(t)$
[/mm]
FRED
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danke.
aber so komme ich einfach nicht weiter mit der Aufgabe, ich verstehe einfach nicht was ich machen soll bei den Teilaufgabne:
1) Wie groß ist die Änderungsratedes ballonvolumens relativ zum Radius?
2)Wie groß ist die Änderungsratedes ballonvolumens relativ zur Oberfläche des Ballons?
3) mit welcher geschwindigkeit wächst der ballon zum zeitpunkt, an dem der Ballon einen Radious von 5cm hat?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:40 Mo 18.01.2010 | | Autor: | Mathegirl |
Wäre echt nett, wenn mit jemand bei der Aufgabebe hilflich sein könnte... habe damit so meine Schwierigkeiten.
Gruß
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:15 Mo 18.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> aber so komme ich einfach nicht weiter mit der Aufgabe, ich
> verstehe einfach nicht was ich machen soll bei den
> Teilaufgabne:
>
> 1) Wie groß ist die Änderungsratedes ballonvolumens
> relativ zum Radius?
> 2)Wie groß ist die Änderungsratedes ballonvolumens
> relativ zur Oberfläche des Ballons?
> 3) mit welcher geschwindigkeit wächst der ballon zum
> zeitpunkt, an dem der Ballon einen Radious von 5cm hat?
Wenn du dir die Kettenregel mal ganz formal hinschreibst, also V als Funktion von r auffasst, und r als Funktion von t, dann steht da:
[mm] (V(r(t))' = \bruch{dV}{dr}(r(t)) * r'(t) [/mm], [mm] \bruch{dV}{dr}(r(t)) = 4\pi (r(t))^2 [/mm].
Und jetzt überlege dir mal, was [mm] $\bruch{dV}{dr}$ [/mm] anschaulich ist, wenn $V'(t) = [mm] \bruch{dV}{dt}$ [/mm] die zeitliche Änderungsrate von V ist.
Zu Teilaufgabe 3): Die Geschwindigkeit, mit der sich der Ballon ausdehnt, ist doch gerade $r'(t)$. Da du weisst, wie groß $V'(t)$ ist, kannst du, wenn du $r$ zu einem bestimmten Zeitpunkt gegeben hast, den dazugehörigen Wert von $r'(t)$ ausrechnen.
Viele Grüße
Rainer
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Danke Rainer.
[mm] \bruch{dV}{dr} [/mm] ist die Abhängigkeit des Volumens vom Radius, also das, was in Aufgabe 1) gesucht ist. Das habe ich mir ja alles schon bewusst gemacht, ich weiß trotzdem nicht, wie ich das bestimmen kann.
Das gleiche betrifft auch die Oberfläche in Aufgabenteil 2)
Mich irritiert auch etwas die Schreibweise mit V´(t), da ich vorher bereits definiert habe V´(t)= 50 [mm] cm^3/s
[/mm]
so, wenn ich in die 3. Aufgabe einsetze, dann erhalte ich
O(t)= [mm] 4\pi(5(t))^2
[/mm]
dabei stört allerdings das t zum berechnen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:28 Di 19.01.2010 | | Autor: | Mathegirl |
kann mir hierbei vielleicht jemand weiterhelfen?
Ich habe versucht mich an den Tipps zu orientieren, aber dann treten wieder Fragen auf, wie im Post darüber genannt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:39 Di 19.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Danke Rainer.
> [mm]\bruch{dV}{dr}[/mm] ist die Abhängigkeit des Volumens vom
> Radius, also das, was in Aufgabe 1) gesucht ist. Das habe
> ich mir ja alles schon bewusst gemacht, ich weiß trotzdem
> nicht, wie ich das bestimmen kann.
Richtig.
> Das gleiche betrifft auch die Oberfläche in Aufgabenteil
> 2)
>
>
> Mich irritiert auch etwas die Schreibweise mit V´(t), da
> ich vorher bereits definiert habe V´(t)= 50 [mm]cm^3/s[/mm]
Das wirfst du zwei Dinge durcheinander: die Gleichung für $V'(t)$ gilt ganz allgemein, unabhängig davon, wie schnell oder gleichmäßig der Ballon aufgeblasen wird. In der Aufgabe ist allerdings eine konstante Volumenänderung [mm]V´(t)= 50 cm^3/s[/mm] vorgegeben.
Löse die Gleichung
[mm] V'(t) = \bruch{dV}{dr} r'(t) [/mm]
also nach [mm]\bruch{dV}{dr}[/mm] auf!
> so, wenn ich in die 3. Aufgabe einsetze, dann erhalte ich
>
> O(t)= [mm]4\pi(5(t))^2[/mm]
Na, das ist Unsinn: du kannst doch nicht in einer Funktion $r(t)$ das Symbol r durch eine Zahl ersetzen.
Geh wieder von der Gleichung
[mm] V'(t) = 4\pi (r(t))^2 r'(t) [/mm]
aus, und setze ein, dass zu einem bestimmten Zeitpunkt (nennen wir ihn [mm] $t_1$), [/mm] der Radius [mm] $r(t_1) [/mm] = 5cm$ ist, also
[mm] V'(t_1) = 4\pi (r(t_1))^2 r'(t_1) [/mm]
mit [mm] $r(t_1) [/mm] = 5cm$ und, wie du selbst schreibst, [mm] $V'(t_1) [/mm] = [mm] 50cm^3/s$. [/mm] Rechne die Geschwindigkeit [mm] $r'(t_1)$ [/mm] aus!
Viele Grüße
Rainer
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okay,
also wenn ich V´(t)= [mm] \bruch{dV}{dr}* [/mm] r´(t) nach [mm] \bruch{dV}{dr} [/mm] umstelle, so erhalte ich
[mm] \bruch{V'(t)}{r'(t)}= \bruch{dV}{dr}
[/mm]
Okay, wenn ich [mm] t_1 [/mm] einsetze kann ich ja eigentlich die Gleichung
[mm] 50cm^3/s [/mm] = [mm] 4\pi (5cm^3/s)^2* [/mm] r´(t)
aber das kann vom Ergebnis her nicht hinhauen......
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:14 Mi 20.01.2010 | | Autor: | Mathegirl |
Kann mir vielleicht jemand bei der Lösung der Aufgabe behilflich sein? Ich komme irgendwie nicht weiter.
Gruß
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:49 Mi 20.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> okay,
>
> also wenn ich V´(t)= [mm]\bruch{dV}{dr}*[/mm] r´(t) nach
> [mm]\bruch{dV}{dr}[/mm] umstelle, so erhalte ich
>
> [mm]\bruch{V'(t)}{r'(t)}= \bruch{dV}{dr}[/mm]
>
>
> Okay, wenn ich [mm]t_1[/mm] einsetze kann ich ja eigentlich die
> Gleichung
>
> [mm]50cm^3/s = 4\pi (5cm^3/s)^2* r'(t)[/mm]
>
> aber das kann vom Ergebnis her nicht hinhauen......
Nein, denn du hast die falsche Einheit eingesetzt. Die Länge wird immer noch in Metern gemessen 
[mm]50cm^3/s = 4\pi (5cm)^2* r'(t)[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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ah stimmt, das mit den Metern hab ich voll übersehen...nein, was ich meine ist, dass das auch so irgendwie nicht stimmt.
denn wenn ich nach r´(t) umstelle erhalte ich:
r´(t)= [mm] \bruch{50\bruch{cm^3}{s}}{314,16} [/mm] und das kann irgendwo nicht stimmen....
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Hallo,
die Einheiten hast du nicht richtig gekürzt. Wieso kann denn das Ergebnis nicht stimmen?
Hast du einmal die korrekten Einheiten ermittelt, stimmt das Ergebnis auch.
Viel Erfolg,
Roland.
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das müssten ja dann 1,6cm/s sein, stimmt das?
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Hallo Mathegirl,
> das müssten ja dann 1,6cm/s sein, stimmt das?
Ich erhalte ausgehend von Rainers Gleichung was völlig anderes:
[mm] $\frac{50cm^3}{s}=4\pi(5cm)^2\cdot{}r'(t)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \frac{50cm^3}{s\cdot{}4\pi\cdot{}25cm^2}=r'(t)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow r'(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{cm}{s}\approx 0,16\frac{cm}{s}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:08 So 17.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hi!
> [mm]O=4\pi r^3[/mm]
Allein aus Gründen der Einheit kann das [mm] $r^{\red{3}}$ [/mm] nicht stimmen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:18 Mo 18.01.2010 | | Autor: | Mathegirl |
Vielen Dank, da habe ich mich wohl vertan!
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Hallo zusammen,
ich habe mal eine Frage zur Aufgabe.
ist nicht einfach die lösung zu a) die zweite Ableitung des Volumens also V''(r)= t(8 [mm] \pi [/mm] r) und zur b) ist es die erste Ableitung V'(r)=t(4 [mm] \pi r^{2}) [/mm]
oder ist es nicht so einfach?
Grüße Robbe
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Könnt ihr einfach mal die Antwort zu a) und b) sagen?
Ist hier ganz durcheinander geworden.
Hab zwar einige ansätze aber weil ich mir bei jeder nicht ganz sicher bin, wäre mal die reine lösung von vorteil um dann zu wissen, welcher ansatz der richtige ist
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:58 Fr 22.01.2010 | | Autor: | Herby |
Hallo,
> Könnt ihr einfach mal die Antwort zu a) und b) sagen?
![[abgelehnt]](/images/smileys/abgelehnt.gif "[abgelehnt]")
LG
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Sa 23.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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