Ableitungs-Funktion herleiten < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:03 Fr 21.08.2009 | | Autor: | Phil92 |
Hallo,
nach den Sommerferien wollte ich meine Mathekenntnisse nochmal auffrischen, und entdeckte dabei leider ein Problem. Nehmen wir z.B. die Funktion f(x)=3x³+4x²-7x+5. Ich weiß, dass die Ableitung, also f'(x) lautet: 9x²+8x-7. Auch weiß ich, wie man die Steigungsformel bildet:
m = f(x+h)-f(x)
x+h-x
m = f(x+h)-f(x)
h
So. Jetzt kommt mein Problem. Wie kann ich jetzt eine Formel erstellen, mit der man die Ableitung der oben genannten Funktion berechnen kann? Ich weiß nämlich überhaupt nicht mher, was ich nun wo von der Funktion einsetzen muss. Ich wäre super dankbar für jegliche Hilfestellung(en).
Philipp
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:41 Fr 21.08.2009 | | Autor: | notinX |
Wenn ich Dich richtig verstanden habe, möchtest Du die Ableitung der Funktion [mm] $f(x)=3x^3+4x^2-7x+5$ [/mm] mittels Differentialquotienten bestimmen.
Der Differentialquotient (welcher er Ableitung im Punkt [mm] x_0 [/mm] entspricht) lautet: [mm] $f'(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0} \frac {f(x)-f(x_0)} {x-x_0}$ [/mm] bzw. [mm] $f'(x_0)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {f(x_0+h)-f(x_0)} [/mm] {h}$ Welche der beiden Definitionen man verwendet ist reine Geschmackssache.
Da Du de Ableitungsfunktion bestimmen möchtest, wählen wir einen beliebigen Wert für [mm] x_0=a.
[/mm]
Jetzt können wir das ganze in den Differentialquotienten einsetzen:
[mm] $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{3(a+h)^3+4(a+h)^2-7(a+h)+5-(3a^3+4a^2-7a+5)}{h}$
[/mm]
Jetzt ausmultiplizieren und zusammenfassen:
[mm] $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{3a^3+9a^2h+4a^2+9ah^2+8ah-7a+3h^3+4h^2-7h+5-(3a^3+4a^2-7a+5)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{9a^2h+9ah^2+8ah+3h^3+4h^2-7h}{h}$
[/mm]
[mm] $=\lim_{h\rightarrow 0}(9a^2+9ah+8a+3h^2+4h-7)=9a^2+8a-7$
[/mm]
und es kommt tatsächlich die Ableitungsfunktion heraus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:05 Sa 22.08.2009 | | Autor: | Phil92 |
Danke Danke Danke !!!
Du hast mir wirklich geholfen 
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