Ableitungsargument < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:22 Sa 26.03.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Man beweise durch ein geschicktes [mm] Ableitungsargument:\summe_{k=0}^{n} k*\vektor{n \\ k}=n*2^{n-1}. [/mm] |
Hallo zusammen^^
Ich komme bei dieser Aufgabe leider nicht mehr weiter. Den Term auf der rechten Seite hab ich einfach mal abgeleitet. Sei [mm] g(n):=n*2^{n-1}, [/mm] dann ist [mm] g'(n)=2^{n-1}+(n^{2}-n)*2^{n-2}. [/mm]
Die Summe auf der linken Seite hab ich versucht zu umschreiben,aber das k stört. Denn es ist [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}=2^{n}. [/mm] Und das k darf ich nicht rausziehen.
Ich könnte auch [mm] k*\vektor{n \\ k}=n*\vektor{n-1 \\ k-1} [/mm] schreiben, aber ich sehe nicht, was mir das bringen soll.
Hat jemand einen Tipp für mich, wie ich weiter machen kann?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:28 Sa 26.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Man beweise durch ein geschicktes
> [mm]Ableitungsargument:\summe_{k=0}^{n} k*\vektor{n \\ k}=n*2^{n-1}.[/mm]
>
> Hallo zusammen^^
>
> Ich komme bei dieser Aufgabe leider nicht mehr weiter. Den
> Term auf der rechten Seite hab ich einfach mal abgeleitet.
Oh nein ! Du leitest Folgen ab ???!
Die Aufgabe ist so gemeint:
Betrachte
(1) [mm] $f(x):=(1+x)^n$
[/mm]
Es ist
(2) $ f(x)= [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}x^k$
[/mm]
Berechne f'(1) auf 2 Arten: einmal mit (1) und dann mit (2)
FRED
> Sei [mm]g(n):=n*2^{n-1},[/mm] dann ist
> [mm]g'(n)=2^{n-1}+(n^{2}-n)*2^{n-2}.[/mm]
> Die Summe auf der linken Seite hab ich versucht zu
> umschreiben,aber das k stört. Denn es ist
> [mm]\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}=2^{n}.[/mm] Und das k darf ich
> nicht rausziehen.
> Ich könnte auch [mm]k*\vektor{n \\ k}=n*\vektor{n-1 \\ k-1}[/mm]
> schreiben, aber ich sehe nicht, was mir das bringen soll.
> Hat jemand einen Tipp für mich, wie ich weiter machen
> kann?
>
> Vielen Dank
> lg
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:27 Mo 28.03.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo fred97,
vielen Dank für deine Hilfe.
> Oh nein ! Du leitest Folgen ab ???!
Mir war nicht ganz klar, dass das eine Folge ist.
>
> Die Aufgabe ist so gemeint:
>
> Betrachte
>
> (1) [mm]f(x):=(1+x)^n[/mm]
>
> Es ist
>
> (2) [mm]f(x)= \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}x^k[/mm]
>
> Berechne f'(1) auf 2 Arten: einmal mit (1) und dann mit
> (2)
>
Ok. Das hab ich jetzt gemacht.
(1) [mm] f'(x)=n*(1+x)^{n-1}, f'(1)=n*2^{n-1}
[/mm]
(2) [mm] f'(x)=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}*k*x^{k-1}
[/mm]
[mm] f'(1)=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}*k.
[/mm]
Dann ist die Gleichheit ja schon gezeigt. Aber mir ist noch nicht ganz klar, wie du auf den Ansatz gekommen bist, dir [mm] f(x):=(1+x)^{n} [/mm] zu definieren. Gibt es dafür einen bestimmten Grund oder ist das einfach das "Geschickte" an der Sache?
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:41 Mo 28.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred97,
>
> vielen Dank für deine Hilfe.
>
> > Oh nein ! Du leitest Folgen ab ???!
>
> Mir war nicht ganz klar, dass das eine Folge ist.
> >
> > Die Aufgabe ist so gemeint:
> >
> > Betrachte
> >
> > (1) [mm]f(x):=(1+x)^n[/mm]
> >
> > Es ist
> >
> > (2) [mm]f(x)= \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}x^k[/mm]
> >
> > Berechne f'(1) auf 2 Arten: einmal mit (1) und dann mit
> > (2)
> >
>
> Ok. Das hab ich jetzt gemacht.
>
> (1) [mm]f'(x)=n*(1+x)^{n-1}, f'(1)=n*2^{n-1}[/mm]
>
> (2) [mm]f'(x)=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}*k*x^{k-1}[/mm]
>
> [mm]f'(1)=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}*k.[/mm]
>
> Dann ist die Gleichheit ja schon gezeigt. Aber mir ist noch
> nicht ganz klar, wie du auf den Ansatz gekommen bist, dir
> [mm]f(x):=(1+x)^{n}[/mm] zu definieren. Gibt es dafür einen
> bestimmten Grund oder ist das einfach das "Geschickte" an
> der Sache?
Wenn ich so etwas sehe: "Ableitungsargument ", [mm] $:\summe_{k=0}^{n} k\cdot{}\vektor{n \\ k}=n\cdot{}2^{n-1}...... [/mm] $
fällt mir sofort der binomische Satz ein
FRED
>
> lg
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