Ableitungsergebnis unklar < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:54 So 03.06.2012 | | Autor: | robbionline |
| Aufgabe | Gleichung: w - [mm] \bruch{u(w)-u(b)}{u'(w)} [/mm] = [mm] \theta [/mm] f'(n)
Lösung: Wenn w steigt, dann nimmt der linke Teil der Gleichung ab. Dadurch muss bei gleichbleibenden [mm] \theta [/mm] f'(n) steigen, was bedeutet, dass die Beschäftigung abnimmt.
Hinweise: u(w) steigt mit w, allerdings immer langsamer. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich verstehe diese Lösung nicht. Wenn w (Lohn) steigt, dann erhöht sich der Minuend. Beim folgenden Bruch gilt, dass mit jeder Erhöhung von w die steigung der Nutzenkurve (u'(w)) kleiner wird. u(w) steigt mit w. u(b) verändert sich nicht.
Unter welchen bedingungen kann dann die Lösung richtig sein?
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> Gleichung: w - [mm]\bruch{u(w)-u(b)}{u'(w)}[/mm] = [mm]\theta[/mm] f'(n)
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> Lösung: Wenn w steigt, dann nimmt der linke Teil der
> Gleichung ab. Dadurch muss bei gleichbleibenden [mm]\theta[/mm]
> f'(n) steigen, was bedeutet, dass die Beschäftigung
> abnimmt. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
>
> Hinweise: u(w) steigt mit w, allerdings immer langsamer.
>
> Ich verstehe diese Lösung nicht. Wenn w (Lohn) steigt,
> dann erhöht sich der Minuend. Beim folgenden Bruch gilt,
> dass mit jeder Erhöhung von w die steigung der Nutzenkurve
> (u'(w)) kleiner wird. u(w) steigt mit w. u(b) verändert
> sich nicht.
>
> Unter welchen bedingungen kann dann die Lösung richtig
> sein?
Hallo,
ich kann im Obigen keine eigentliche Aufgabenstellung
erkennen. Was ist denn nun eigentlich zu berechnen
oder zu zeigen ?
Es wäre bestimmt auch hilfreich, wenn du die Bezeichnungen
und ihre Bedeutung erläutern würdest !
LG Al-Chwarizmi
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Ich habe eine Lösung vorgegeben, die ich beschrieben habe. Ich verstehe aber nicht, wie der Autor dazu kommt.
Zu der Anmerkung: Ich habe dazu eine Anmerkung geschrieben. Hilft die dir?
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Hallo robbionline,
ich habe nun versucht, eine Grafik zu erstellen, welche die
Zusammenhänge erläutern könnte. Hier ist sie:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Der Verlauf der Funktion u(w) ist durch die Kurve k
dargestellt, welche wie gesagt ansteigend, aber mit abneh-
mender Steigung ist, d.h. u'>0 und u''<0 .
In einem Kurvenpunkt P(w|u(w)) ist die Tangente t
eingezeichnet, deren Steigung gleich u'(w) ist.
b ist ein weiterer spezieller Wert der Variablen w, wobei
ich angenommen habe, dass [mm] b
Nun kann man sich klar machen, dass die linke Seite L
der Gleichung
$\ [mm] \underbrace{w\ -\ \bruch{u(w)-u(b)}{u'(w)}}_L\ [/mm] =\ [mm] \theta*f'(n)$
[/mm]
der w-Koordinate des Schnittpunktes S der Tangente t mit
der horizontalen Linie h: u=u(b) entspricht.
So, und nun "animieren" wir das Ganze ein bisschen:
Die Kurve k und der Kurvenpunkt B(b|u(b)) bleiben stehen.
Den Punkt P verschieben wir der Kurve k entlang nach rechts,
d.h. w soll (wie vorausgesetzt) zunehmen. Die Tangente t
verschiebt und dreht sich, und es wird klar, dass ihr Schnitt-
punkt S mit h nach links wandert, d.h. der Wert von L
(=linke Seite der Gleichung) nimmt ab - wir könnten
schreiben: L'<0 .
Nun sagt die Gleichung, dass L proportional zu f' ist (mit
einem sicher positiven Proportionalitätsfaktor [mm] \theta). [/mm] Aus
L'<0 kann man nun schließen, dass f''(n)<0 sein muss.
Jetzt ist mir nur leider immer noch nicht so ganz klar, wie
dies mit den Aussagen des Autors in Verbindung zu bringen
ist. Natürlich weiß ich auch nicht genau, wie die weiteren
Größen wie etwa n und f(n) und die Konstante [mm] \theta [/mm] inhaltlich
zu verstehen sind.
LG Al-Chw.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:26 So 03.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
w waechst, u(b)/u'(w) waechst. ueber u(w)/u'(w) weiss man zu wenig, wenn u(w) immer langsamer waechst, kann der Ausdruck insgesamt wachsen, aber auch konstant sein oder fallen!
Also kann man ohne naeheres Wissen ueber u(w) nicht aussagen, ob der Ausdruck links faellt oder waechst.
allerdings wenn er mit wachsendem w faellt, muss bei festen [mm] \Theta [/mm] doch f'(t) auch fallen und nicht steigen?
Gruss leduart
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w = Lohn
u(w) = Nutzenfunktion in Abh. zum Lihn
u'(w) = Grenznutzen des Lohns, positiv
u''(w) = 2. Ableitung der Nutzenfunktion, negativ
u(b) -> analog, aber Arbeitslosenunterstützung
f(n) = Produktionsfunktion in Abh. zum Arbeitseinsatz
f'(n) = Grenzprodukt der Arbeit, positiv
f''(n) = 2. Abl. der Produktionsfunktion, negativ
[mm] \theta [/mm] ist für unsere Analyse irrelevant, da konstant.
"u(w) is an increasing, concave function of wage w", ist die einzige Info die ich habe. Genau das ist ja mein Problem. Ich verstehe nicht, wie der Autor auf diese Lösung kommt.
PS: Die Lösung, die der Autor präsentiert, begründet er ungefähr so: "Wenn sich der Lohn w erhöht, dann verringert sich der Wert auf der linken Seite der Gleichung, da sich der Grenznutzen des Einkommens, der im Nenner steht u'(w), verringert."
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