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| Aufgabe | Die Gerade mit der Gleichung y=b schneidet den Graphen der Funktion f in P und den Graphen der Funktion g in Q.
Bestimmen Sie b so, dass die Tangenten in P und Q parallel sind.
a) f(x)=x und g(X)=x² |
Benötige ich die Ableitungsfunktionen?Wenn ja wie kann ich mit ihnen b bestimmen?
Bitte um Lösungsansatz.
Danke
lieben Gruß,
Hessencowboy
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Die Gerade mit der Gleichung y=b schneidet den Graphen der
> Funktion f in P und den Graphen der Funktion g in Q.
> Bestimmen Sie b so, dass die Tangenten in P und Q parallel
> sind.
> a) f(x)=x und g(X)=x²
> Benötige ich die Ableitungsfunktionen?Wenn ja wie kann
> ich mit ihnen b bestimmen?
Hallo,
EDIT: Diese Antwort antwortet auf die nicht gestellte Frage nach denPunkten P(b/ f(b)) und Q(b/g(b)) , in welchen die Tangenten von f bzw. g parallel sind.
Gefragt sind jedoch Punkte P(...|b) und Q(...|b).
Skizze malen: die beiden Graphen und eine Gerade x=b, diese ist parallel zur y-Achse und geht durch (b|0).
y=b schneidet die beiden Graphen in den Punkten P(b | ...) und Q(b |...).
Wenn die Tangenten parallel sein sollen, dann müssen sie diesebe Steigung haben.
Tangentensteigung=Ableitung, also mußt Du erstmal ausrechnen, an welcher Stelle b die beiden Ableitungen gleich sind.
f'(b)= ???
g'(b)= ???
Gruß v. Angela
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f'(b)= 1
g'(b)= 2b
1=2b --> b=1/2
wie komm ich jetzt weiter?
Gruß
hessencowboy
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> f'(b)= 1
> g'(b)= 2b
>
> 1=2b --> b=1/2
>
> wie komm ich jetzt weiter?
Hallo,
viel weiter mußt Du ja nicht.
Du weißt, daß an der Stelle [mm] b=\bruch{1}{2} [/mm] die Tangenten parallel sind.
Nun mußt Du nur noch ausrechnen, welche Punkte auf den beiden Graphen es sind.
Was ist [mm] f(\bruch{1}{2}), [/mm] was ist [mm] g(\bruch{1}{2}), [/mm] wei heißen die Punkte?
Gruß v. Angela
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Die Punkte sind dann P=(1/2 / 1/2) und Q= (1/2 / 1/4)
Wenn das das ergebnis ist dann ist b aber gleich x und nicht gleich y?
Gruß
Hessencowboy
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Hallo!
> Die Punkte sind dann P=(1/2 / 1/2) und Q= (1/2 / 1/4)
>
> Wenn das das ergebnis ist dann ist b aber gleich x und
> nicht gleich y?
Oh je, du hast Recht... Angela hat sich mit der Angabe der Geraden vertan. Ihr habt jetzt mit einer Geraden parallel zur y-Achse gerechnet, in der Aufgabe ist aber mit der Geraden y = b eine Gerade parallel zur x-Achse beschrieben.
Dann musst du die Aufgabe etwas anders angehen:
1. Berechne zunächst die Punkte P und Q. Dies sind die Schnittpunkte der Funktionen $f(x) = x$ und $g(x) = [mm] x^{2}$ [/mm] mit der Geraden $y = b$ (d.h. der Funktion $h(x) = b$, wenn dir das hilft).
Der Ansatz für den Schnittpunkt der Geraden $y = b$ mit der Funktion $g(x)$ sieht so aus:
$g(x) = b [mm] \gdw x^{2} [/mm] = b [mm] \gdw [/mm] ...$
Du erhältst nun zwei Schnittpunkte $P(...|b)$ und $Q(...|b)$.
2. Da du nun durch Berechnung der Schnittpunkte P und Q die x-Werte kennst, bei welchen die Gerade $y= b$ die Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ schneidet, kannst du die Steigungen der Tangenten bei diesen x-Werten berechnen.
3. Beide berechneten Steigungen hängen von b ab. Nun musst du die Steigungen wieder gleichsetzen und b ausrechnen.
Grüße,
Stefan
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vielen Dank...das hat mir klarheit gebracht
Gruß
Hessencowboy
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 11:56 So 01.11.2009 | | Autor: | abakus |
> > f'(b)= 1
> > g'(b)= 2b
> >
> > 1=2b --> b=1/2
> >
> > wie komm ich jetzt weiter?
>
> Hallo,
>
> viel weiter mußt Du ja nicht.
>
> Du weißt, daß an der Stelle [mm]b=\bruch{1}{2}[/mm] die Tangenten
> parallel sind.
Hallo, das geht jetzt durcheinander:
f(x) hat überall den Anstieg 1. g(x) hat an der Stelle x=0,5 den Anstieg 1.
Da g(0,5)=0,25 ist, muss die Gerade y=b den Graphen von g(x) im Punkt (0,5|0,25) schneiden.
Damit ist b=0,25.
Probe:
y=0,25 schneidet f(x) im Punkt (0,25|0,25). f(x) hat dort wie überall den Anstieg 1.
y=0,25 schneidet g(x) im Punkt (0,5|0,25). g(x) hat dort den Anstieg 2*0,5=1.
Also sind die Tangenten der beiden Graphen dort parallel.
Gruß Abakus
>
> Nun mußt Du nur noch ausrechnen, welche Punkte auf den
> beiden Graphen es sind.
>
> Was ist [mm]f(\bruch{1}{2}),[/mm] was ist [mm]g(\bruch{1}{2}),[/mm] wei
> heißen die Punkte?
>
> Gruß v. Angela
>
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 12:09 So 01.11.2009 | | Autor: | angela.h.b. |
> Hallo, das geht jetzt durcheinander:
Hallo,
in der Tat hatte ich Antwort auf eine andere Aufgabenstellung gegeben.
Gruß v. Angela
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