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Tut mir leid für meine vielen Fragen, aber ich muss nächste Woche einen Vortrag über das Thema halten.
Die Potenzregel beim Ableiten wird anhand des Produkteregels bewiesen. Dieses Beweisverfahren wird als vollständige Induktion bezeichnet. Ich weiss es steht im Wikipedia, doch will mir nicht alles durchlesen. Kann mir das jemand kurz und bündig erklären?
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Hallo blackkilla,
selbst wenn es der Wahrheit entsprechen sollte, solltest du das nicht so schreiben: "Ich will mir das nicht alles durchlesen" - das klingt nämlich für uns sehr danach, dass wir deine Arbeit machen sollen.
Die Potenzregel beim Ableiten - damit ist doch gemeint:
[mm] $(x^{n})' [/mm] = [mm] n*x^{n-1}$,
[/mm]
oder?
Das brauchst du nicht mit vollständiger Induktion zu beweisen (wenn du es nicht kennst, würde es in deiner Klasse auch niemand gleich verstehen, und dann hätte der Vortrag keinen Sinn), sondern das geht zum Beispiel so:
f(x) = [mm] x^{n}
[/mm]
$f'(x) = [mm] \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} [/mm] = [mm] \lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h}$
[/mm]
Nun muss man wissen, dass [mm] (x+h)^{n} [/mm] ausgeklammert so beginnt:
[mm] $(x+h)^{n} [/mm] = [mm] x^{n} [/mm] + [mm] n*x^{n-1}*h [/mm] + [mm] h^{2}*(...)$
[/mm]
Das kann man sich aber relativ schnell klar machen, indem man das mal für [mm] (x+h)^{4} [/mm] macht:
$(x+h)*(x+h)*(x+h)*(x+h) = ...$
[mm] x^{n-1}, [/mm] d.h. [mm] x^{3} [/mm] entsteht nur, wenn dreimal x multipliziert wird und einmal h dazu. Dafür gibt es genau 4 (n) Möglichkeiten: Wir nehmen das h aus der ersten Klammer und multiplizieren es mit den drei x aus den anderen Klammern, wir nehmen das h aus der zweiten Klammer, usw.
Dann kannst du das so aufschreiben:
$f'(x) = [mm] \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} [/mm] = [mm] \lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h} [/mm] = [mm] \lim_{h\to 0}\frac{x^{n}+h*n*x^{n-1}+h^{2}*(...) - x^{n}}{h}$
[/mm]
... und jetzt ist es ein Kinderspiel bis zum Schluss.
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Trotzdem nochmal zu deinem Vorschlag:
Prinzip der vollständigen Induktion: Man beweist eine Aussage erst für n = 1 (das ist meist sehr einfach, hier zum Beispiel  ), und dann beweist man die Aussage für (n+1), wobei man annehmen darf, dass die Aussage für 1,...,n bereits gilt (wichtig, und brauchst du bei jedem Induktionsbeweis mindestens einmal!!!).
Hier geht das zum Beispiel so:
Induktionsanfang n = 1: [mm] x^{1} [/mm] = x ist abgeleitet 1. Nach der Regel wäre es: [mm] (x^{1})' [/mm] = [mm] 1*x^{0} [/mm] = 1. Die Regel stimmt also.
Induktionsvoraussetzung: Die Aussage gilt bereits für 1,...,n.
Induktionsschritt: Wir zeigen die Aussage für n+1:
[mm] (x^{n+1})' [/mm] = [mm] (x^{n}*x)'
[/mm]
Nun können wir die schon bekannte Produktregel und die Induktionsvoraussetzung benutzen, nach der wir wissen, dass [mm] (x^{n})' [/mm] = [mm] n*x^{n-1}:
[/mm]
= [mm] (x^{n})'*x [/mm] + [mm] x^{n}*(x)'
[/mm]
= [mm] n*x^{n-1}*x [/mm] + [mm] x^{n}*1
[/mm]
[mm] =n*x^{n}+x^{n}
[/mm]
[mm] =(n+1)*x^{n}
[/mm]
Voila' - das ist genau das, was wir zeigen wollten, nämlich die Regel, wenn ich statt n (n+1) einsetze.
Anschaulich kann man sich das so erklären, warum das Prinzip der Induktion funktioniert: Du hast eine Domino-Bahn, und du stößt den ersten Stein an. (Das ist der Induktionsanfang). Wenn du nun zeigst, dass immer der NÄCHSTE Stein umfällt, wenn alle Steine davor umgefallen sind (Induktionsschritt!), dann ist bewiesen, dass irgendwann alle Steine umgefallen sind.
Grüße,
Stefan
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Sorry dass es so falsch rüber kam. Muss das nächste Mal auf meine Formulierung achten!^^ Und danke für die sehr schnelle Antwort. Leider haben wir ein Buch als Basis für den Vortrag und ist genau diese Schritte von dir n+1 aufgeführt.
Im Grunde genommen ist es also so, wenn etwas für n=1 stimmt, dann sollte es für n=2 auch stimmen. Und da es für die beiden stimmt, stimmt es auch für n=3?!^^
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Hallo blackkilla,
> Sorry dass es so falsch rüber kam. Muss das nächste Mal
> auf meine Formulierung achten!^^ Und danke für die sehr
> schnelle Antwort. Leider haben wir ein Buch als Basis für
> den Vortrag und ist genau diese Schritte von dir n+1
> aufgeführt.
Dann solltest du dich (noch?) einmal mit der vollst. Induktion im Allg. auseinandersetzen
>
> Im Grunde genommen ist es also so, wenn etwas für n=1
> stimmt, dann sollte es für n=2 auch stimmen. Und da es
> für die beiden stimmt, stimmt es auch für n=3?!^^
Nein, das Prinzip der V.I. ist vereinfacht, dass
1) wenn die Aussage für n=1 gilt
UND
2) wenn aus der Gültigkeit der Aussage für eine beliebige nat. Zahl n folgt, dass die Aussage auch für n+1 gültig ist,
DANN gilt sie für alle nat. Zahlen
Dabei sind beide Schritte wichtig!
1) nennt man den Indunktionsanfang
2) nennt man den Induktionsschluss
LG
schachuzipus
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Ich verstehe Punkt 2 nicht. Meinst du mit Aussage die Potenzregel welches ich nannte?
Im Buch steht "Durch den Schluss von n auf n+1 und die Gültigkeit der Behauptung für den Anfangswert n=1 muss diese Regel für alle weiteren n ebenfalls gelten.
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:35 So 03.01.2010 | | Autor: | blackkilla |
Ist mit k eigentlich n0 gemeint?
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In deiner Lexikon gibts ein ausführliches Beispiel ob etwas durch 7 teilbar ist. Aber man kann ja jede Zahl durch 7 teilen...gibt halt Kommastellen.
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Hallo,
bitte zu neuen Fragen neue threads erstellen, sonst wird es zu unübersichtlich!
> In deiner Lexikon gibts ein ausführliches Beispiel ob
> etwas durch 7 teilbar ist. Aber man kann ja jede Zahl durch
> 7 teilen...gibt halt Kommastellen.
Es wird wohl darum gehen, dass Zahlen eines bestimmten Formats (siehe Aufgabe) ohne Rest durch 7 teibar sind ...
Wenn du konkrete Fragen zu der Aufgabe hast, mache einen neuen thread auf, poste die Aufgabe und sage, was dir unklar ist ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:16 So 03.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo blackkilla!
Was ist Deine (konkrete) Frage? Worauf beziehst Du Dich?
Gruß
Loddar
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