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Ableitungsregeln der E-Funkt.: Ableitungsregeln
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:35 Sa 20.05.2006
Autor: Ich87

Aufgabe
Gegeben sind die Funktionen f und g mit f(x)= 2x* [mm] (e^2-x) [/mm] und [mm] g(x)=x^2*(e^2-x). [/mm]

Wie komme ich dann auf die jeweiligen Ableitungen (bitte nich auslachen):

f'(x) = [mm] e^2-x [/mm] * (2-2x)
f''(x)= [mm] e^2-x [/mm] * (2x-4)
f'''(x)= [mm] e^2-x [/mm] * (6-2x)

g'(x) = [mm] e^2-x [/mm] * [mm] (2x-x^2) [/mm]
g''(x) = [mm] e^2-x [/mm] * [mm] (x^2 [/mm] - 4x +2)

Das ist jedenfalls eine Teilaufgabe der NRW Probeklausur im Internet. Wir haben das im Unterricht nicht wirklich gemacht. Ich kenne nur:
[mm] (e^x)' [/mm] = [mm] e^x [/mm]
und
[mm] a*e^k*x [/mm] = [mm] a*k*e^k*x [/mm]

Mit welchen Ableitungsregeln muss ich vorgehen? Wäre super, wenn mir das jemand verständlich erklären könnte, wird wahrscheinlich gar nicht so schwer sein, aber ich als Mathe-looser ;)... Danke

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Ableitungsregeln der E-Funkt.: Funktionen unklar
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:44 Sa 20.05.2006
Autor: Loddar

Hallo Ich87,

[willkommenmr] !!


Soll das $x_$ jeweils auch noch im Exponenten der e-Funktion stehen?

Also: [mm]f(x)=2x*e^{2-x}[/mm]   bzw.   [mm]g(x)=x^2*e^{2-x}[/mm]


Gruß
Loddar


PS: Und ausgelacht wird hier sowieso keiner ...


Bezug
                
Bezug
Ableitungsregeln der E-Funkt.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:49 Sa 20.05.2006
Autor: Ich87

Danke, für die Begrüßung.

Und ja, genauso soll es sein! ;)

Bezug
        
Bezug
Ableitungsregeln der E-Funkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:12 Sa 20.05.2006
Autor: c.t.

du hast also: f(x)=2x*e^(2-x) und [mm] g(x)=x^2*e^{2-x} [/mm]

zu f(x):  Die benötigte Regel für das Ableiten der e-Funktion lautet "Kettenregel".  dabei steht dann e(...) für die aüßere Funktion und 2-x für die inner Funktion. Desweiteren muss man wegen den Faktor 2x auch noch die Produktregel beachten:

Im einzelnen:  Wir schauen erstmal auf e^(2-x), das leiten wir jetzt nach der Kettenregel ab und erhalten (-1)*e^(2-x). wie kommt das zu stande?
Die Ableitung der Inneren Funktion 2-x ist -1. Die e-Funktion ändert sich beim Ableiten nicht, also hat man zusammen "Inne mal aüßere Ableitung" -e^(2-x)

Jetzt kommt noch der Faktor 2x ins Spiel:

Betracht hier 2x als eine Funktion und e^(2-x) als eine andere Funktion, dann ist klar, dass du die Produktregel anwenden musst:

Sie lautet bekanntlich (ab)´(x)=a´(x)*b(x)+b´(x)*a(x)

dabei setzt du nun a(x)=2x und b(x)=e^(2-x)

[mm] \Rightarrow [/mm] a´(x)=2 und b´(x)= -e^(2-x), das haben wir ja oben ausgerechnet nach der Kettenregel.

Macht also zusammen nach der Produktregel :
2e^(2-x)-2x*e^(2-x)=(2-2x)*e^(2-x)

Verinnerliche mal diese Lösung und versuche die anderen Aufgaben selbst, sie gehen alle nach dem gleich Prinzip.

für f´´(x) hättest du dann für die Produktregel a(x)= (2-2x) und b=(e^(2-x)

b´(x) ist dabei das gleiche wie oben und a´(x) ist natürlich -2x

Den Rest schaffst du sicherlich dann selbst.


Bei der Funktion g(x) wählst du für die Produktregel [mm] a(x)=x^2 [/mm] und b(x)= e^(2-x), wobei b(x) das gleich ist wie bei f(x) und sich auch beiden Ableitungen nie ändern wird.
wobei b(x)

Bezug
        
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Ableitungsregeln der E-Funkt.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:29 Sa 20.05.2006
Autor: Ich87

Vielen lieben Dank, das wird mir definitiv weiterhelfen. Kettenregel und Produktregel kenne ich, nur haben wir diese noch nicht an E-Funktionen durchgeführt. Werde es mir jetzt noch mal genauer verdeutlichen.

Danke

Bezug
                
Bezug
Ableitungsregeln der E-Funkt.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:39 Sa 20.05.2006
Autor: c.t.

Übringens auch wenn dir mal die Funktion [mm] sin(x^2) [/mm] begegnet und du die ableiten sollst, muss auch hier die Kettenregel angewendet werden. Also sin ist äußere Funktion und [mm] x^2 [/mm] die innere

Bezug
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