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| Aufgabe | Gegeben sind die Funktionen [mm]f_k[/mm] mit [mm]f_k(x) = \bruch{4kx}{x^2 + k^2} (k \not=0)[/mm]. Ihre Graphen seien [mm]G_k[/mm].
Untersuchen Sie [mm]G_k[/mm] auf Extrem- und Wendepunkte! |
Hallo,
ich möchte gerne alle drei Ableitungen der Funktionsschar
[mm] f_k(x) = \bruch{4kx}{x^2 + k^2} [/mm]
bilden, wobei [mm] k \not=0 [/mm] ist. Ich komme beim Errechnen der drei Ableitungen auf folgende Ergebnisse, bin mir aber insbesondere bei der zweiten nicht sicher, ob sie korrekt ist.
[mm]f_k^{'}(x) = \bruch{-4kx^2 + 4k^3}{(x^2 + k^2)^2}[/mm]
[mm]f_k^{''}(x) = \bruch{8kx^3 - 24k^3x}{(x^2 + k^2)^3}[/mm]
[mm]f_k^{'''}(x) = \bruch{-24kx^4 + 144k^3x^2 - 24k^5}{(x^2 + k^2)^4}[/mm]
Als Extremstellen habe ich [mm]x_E = \pm k[/mm] als lokales Maximum errechnet, weil [mm]f_k^{''}(x_E) = f_k^{''}(k) = \bruch{-2}{k^2}[/mm] und somit stets [mm]< 0[/mm].
Als Wendestellen kam ich auf [mm]x_W = \pm \wurzel{3k^2}[/mm], was allerdings nicht richtig sein kann, da laut gezeichnetem Graphen die Wendestelle bei [mm]x_W = 0[/mm] liegen müsste.
Jetzt bin ich recht ratlos. Könnte jemand die Ableitungen kontrollieren? Vielen Dank schon im Voraus für die Mühe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 15:10 Mo 02.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Gegeben sind die Funktionen [mm]f_k[/mm] mit [mm]f_k(x) = \bruch{4kx}{x^2 + k^2} (k \not=0)[/mm].
> Ihre Graphen seien [mm]G_k[/mm].
>
> Untersuchen Sie [mm]G_k[/mm] auf Extrem- und Wendepunkte!
> Hallo,
>
>
> ich möchte gerne alle drei Ableitungen der Funktionsschar
>
> [mm]f_k(x) = \bruch{4kx}{x^2 + k^2}[/mm]
>
> bilden, wobei [mm]k \not=0[/mm] ist. Ich komme beim Errechnen der
> drei Ableitungen auf folgende Ergebnisse, bin mir aber
> insbesondere bei der zweiten nicht sicher, ob sie korrekt
> ist.
>
> [mm]f_k^{'}(x) = \bruch{-4kx^2 + 4k^3}{(x^2 + k^2)^2}[/mm]
Korrekt
>
> [mm]f_k^{''}(x) = \bruch{8kx^3 - 24k^3x}{(x^2 + k^2)^3}[/mm]
>
Ich komme auf [mm] \bruch{8kx(x²+k²)²-\overbrace{\bruch{1}{2}(x²+k²)}^{v'}(4kx²+4k³)}{(x^2+k^2)^{4}}=\bruch{8kx(x²+k²)-(2kx²+2k³)}{(x^2+k^2)^{3}}=\bruch{8kx³+8k³x-2kx²-2k³}{(x^2+k^2)^{3}}
[/mm]
Damit wird dann leider bei den Extrema eine Fallunterscheidung nötig.
> [mm]f_k^{'''}(x) = \bruch{-24kx^4 + 144k^3x^2 - 24k^5}{(x^2 + k^2)^4}[/mm]
>
Die dritte Ableitung musst du leider selber erstellen, ich muss zur Arbeit.
Marius
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Hallo,
vielen Dank erst einmal für deine Antwort. Leider kann ich die Herkunft deines "[mm]v'[/mm]" nicht nachvollziehen.
Du gibst für [mm]v' = \bruch{1}{2}(x^2 + k^2)[/mm] an; demnach müsste dein [mm]v = \bruch{1}{2}(\bruch{1}{3}x^3 + k^2x)[/mm] gewesen sein. Oder liege ich hier falsch?!
Hier meine Schritte, wie ich die zweite Ableitung gebildet habe:
[mm]u = -4kx^2 + 4k^3[/mm]
[mm]u' = -8kx[/mm]
[mm]v = (x^2 + k^2)^2[/mm]
[mm]v' = 4x(x^2 + k^2)[/mm]
[mm]\Rightarrow f_k^{''}(x) = \bruch{u'v - uv'}{v^2}[/mm]
[mm]f_k^{''}(x) = \bruch{\overbrace{-8kx}^{u'} \overbrace{(x^2 + k^2)^2}^{v} - \overbrace{( -4kx^2 + 4k^3)}^{u} \overbrace{4x(x^2 +k^2)}^{v'}}{\underbrace{(x^2 + k^2)^4}_{v^2}}[/mm]
Zusammengefasst und gekürzt ergibt das dann
[mm]f_k^{''}(x) = \bruch{8kx^3 - 24k^3x}{(x^2 + k^2)^3}[/mm].
Ich habe jetzt schon etliche Male kontrolliert, kann aber einfach meinen Fehler nicht finden.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:53 Mo 02.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine 2 ersten Ableitungen sind richtig!
ABER wenn dazwischen kein Pol liegt kann ne Funktion nicht genau 2 max oder 2 min haben! Wie soll sie denn von einem max zum anderen kommen ohne durch ein min zu gehen.
dein f## hat auch verschiedenes vorziechen für+k und -k,
ausserdem ist deine fkt. Punktsym. zum 0Punkt! Nenner immer gleiches vorzeichen, Zähler wechselt vorzeichen bei 0!
f''=0 für x=0 kommt auch bei dir raus. du hast ja: f''=0, [mm] $x*(8kx^2-24k^3)=0
[/mm]
(immer in Faktoren zerlegen, nicht einfach durch x teilen!)
f''' brauchst du nicht unbedingt. denn wie der Wendepkt ist, kannst du auch aus Lage der Max uns Min und Assymptoten (y=0) feststellen.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:07 Mo 02.10.2006 | | Autor: | R_Schwarz |
Vielen Dank - jetzt habe ich meinen Fehler gefunden. Tatsächlich hatte ich das [mm]x[/mm] im Nenner immerwieder übersehen.
Also nochmals danke!
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