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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:30 Sa 14.05.2011 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | 1.) f eine [mm] C^2-Funktion [/mm] auf [mm] \IR^n [/mm] mit kompaktem Träger
2.) N Newtonpotenzial auf [mm] \IR^n
[/mm]
3.) u:=N*f (Faltung) [Lösung der Poissongleichung [mm] \Delta [/mm] u=f]
Zu zeigen:
Es gibt Konstante C>0, sodass für [mm] x\in \IR^n [/mm] mit [mm] \Vert [/mm] x [mm] \Vert\geq [/mm] C gilt:
[mm] |u(x)|\leq\begin{cases} C\Vert x\Vert ^{n-2}, & \mbox{für } n \mbox{ ungleich 3} \\ C \ln\Vert x\Vert, & \mbox{für } n \mbox{ gleich 2} \end{cases} [/mm] |
Kann mir jemand helfen dies zu zeigen?
Vielleicht erstmal für den Fall n=2?
Also ich weiß, dass dann das Newtonpotential
N: [mm] \IR^n\backslash \left{0\right}\to \IR [/mm] gegeben ist durch
[mm] \frac{1}{2\pi} \ln \Vert x\Vert
[/mm]
Hier mein Ansatz:
[mm] |u(x)|=|N*f(x)|=|\integral_{\IR^n} N(x-y)f(y)dy| [/mm]
[mm] = |\integral_{\IR^n} \frac{1}{2\pi} \ln \Vert x-y\Vert f(y)dy| [/mm]
[mm] \leq \integral_{\IR^n} |\frac{1}{2\pi} \ln \Vert x-y\Vert f(y)|dy=\frac{1}{2\pi} \integral_{\IR^n}|\ln \Vert x-y\Vert f(y)|dy\leq \integral_{\IR^n}|\ln \Vert x-y\Vert f(y)|dy [/mm]
Und hier weiß ich nun keinen Rat mehr...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:49 So 15.05.2011 | | Autor: | mikexx |
Hat niemand einen Tipp für mich, wie ich weiterkomme? ;(
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(Frage) überfällig | | Datum: | 11:19 So 15.05.2011 | | Autor: | mikexx |
Hallo, nochmal ich.
Ich rätsle immer noch herum, wie man wohl obige Ungleichungen/ Abschätzungen beweisen kann.
Meine Vermutung ist, dass man irgendwie das Newtonpotenzial abschätzen muss.
Vielleicht hängt alles aber auch damit zusammen, dass das Newtonpotenzial lokal integrierbar ist und die Funktion f einen kompakten Träger hat?
Ich bitte nochmal sehr inständig um Hilfe, weil ich die Aufgabe brauche, um wichtige Punkte zu sammeln.
Vielen lieben DAnk!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Di 17.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Mo 16.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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