Abschätzung < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:09 Mo 26.09.2011 | | Autor: | Helbig |
| Aufgabe | Sei [mm]f[/mm] auf [mm](a,+\infty)[/mm] dreimal stetig differenzierbar.
Zeige: Sind [mm]\rho[/mm],[mm]\sigma[/mm] bzw. [mm]\tau[/mm] die Suprema von $|f(x)|$, [mm]|f'(x)|[/mm] bzw. [mm]|f''(x)| [/mm] für [mm]x\in(a,+\infty)[/mm], so ist [mm]\sigma^2\le 4\rho\tau[/mm]. |
Mit der Aufgabe kam ein Hinweis:
Sei [m]h>0[/m] und [m]x\in(a,+\infty)[/m]. Nach dem Satz von Taylor gibt es ein [m]\xi \in (x,\; x+2h)[/m] mit
[m]f'(x)=\bruch {1} {2h}\bigl(f(x+2h)-f(x)\bigr)-hf''(\xi)[/m]
Hieraus folgt: [mm]|f'(x)|\le h\tau + \bruch \rho h[/mm].
So weit ist alles klar. Aber wie folgt hieraus die Behauptung?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:19 Mo 26.09.2011 | | Autor: | Helbig |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Lieber Moderator,
bitte kennzeichne diese Frage als beantwortet.
Mir ist nämlich eingefallen, wie man den Hinweis ausnutzen kann:
Sei $M=\left\{\bruch \rho h + \tau h \biggm| 0<h \right\}\;.$
Nach dem Hinweis existiert $\inf M$ und es ist $\bigl|f'(x)\bigr|\le\inf M$.
Ist $\tau=0$, so ist $\inf M = 0$.
Ist $\tau \ne 0$, so ergibt sich für $h=\sqrt{\bruch \rho \tau$:
$\bruch \rho h + \tau h = \sqrt{\rho\tau}+\sqrt{\rho\tau}=2\sqrt{\rho\tau}\in M$ und deshalb $\inf M \le 2\sqrt{\rho\tau$.
In jedem Fall ist $\bigl|f'(x)\bigr| \le 2\sqrt{\tau\rho}$ und hieraus folgt die Behauptung.
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