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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:19 Sa 23.06.2012 | | Autor: | Infty |
| Aufgabe | Zu zeigen ist:
[mm] $||x||_1 \leq \sqrt{n} ||x||_2$ [/mm] |
hi!
In meiner Lösung steht:
[mm] $\begin{matrix}
||x||_1&=&\sum_{i=1}^{n}|x_i| \\
\ & =& <\begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\x_n\end{pmatrix},\begin{pmatrix} \operatorname{sign}(x_1) \\ \vdots \operatorname{sign}(x_n)\end{pmatrix}>_2\\
\ &\leq & ||x||_2 \cdot \sqrt{n}
\end{matrix}
[/mm]
Ich verstehe noch woher das Skalarprodukt kommt aber wie daraus die Ungleichung folgen soll ist mir ein Rätsel. Kapiert das jemand von euch?
Schonmal vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:31 Sa 23.06.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Es gilt ganz allgemein $|x|=x*sign(x)$. Das kannst du leicht sehen, indem du die Gleichung für $x>0$ und [mm] $x\le [/mm] 0$ prüfst. Daher kannst du sie Summe so als Standardskalarprodukt schreiben [mm] (=\summe_{i=1}^{n}x_iy_i).
[/mm]
Die letzte Ungleichung ist die ![[]](/images/popup.gif) Cauchy-Schwarzsche Ungleichung angewendet auf das Skalarprodukt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Sa 23.06.2012 | | Autor: | Infty |
Aber wie ändert sich die Norm durch die Cauchy-Schwarz-Ungleichung zu [mm] $||x||_2$?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:26 Sa 23.06.2012 | | Autor: | Helbig |
> Aber wie ändert sich die Norm durch die
> Cauchy-Schwarz-Ungleichung zu [mm]||x||_2[/mm]?
Wende die Cauchy-Schwarz-Ungleichung auf die Vektoren $x$ und $y$ mit [mm] $y_k=\mathrm{sign} (x_k), 1\le [/mm] k [mm] \le [/mm] n$, an.
Gruß,
Wolfgang
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:25 Sa 23.06.2012 | | Autor: | Teufel |
Das liegt daran, dass das verwendete Vektorprodukt ein Vektorprodukt aus dem [mm] \IR^2 [/mm] ist!
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