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| Aufgabe | Man beweise: [mm] \summe_{n=1}^{N}\bruch{1}{1+n^{4}}\le\integral_{0}^{N} {\bruch{dx}{1+x^{4}}} [/mm] für alle N 2 N, ohne das Integral zu
berechnen. |
Die Lösung gibt folgendes vor:
Sei n [mm] \in [/mm] (1,...,N) und x [mm] \in [/mm] (n-1,n) gilt: x [mm] \le [/mm] n.
Meine Frage: Weshalb lege ich n und x in dieses Intervall?
Gibt es eine andere Möglichkeit, die Aufgabe zu lösen?
Die Abschätzung anhand der Vorgabe ist mir dann klar. Allerdings eben nicht, wie ich n und x wähle.
DANKE
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| Aufgabe | | Frage noch immer aktuell! |
Verlängerung des Zeitraums
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:01 So 01.11.2009 | | Autor: | iks |
Hallo pippi!
> Man beweise:
> [mm]\summe_{n=1}^{N}\bruch{1}{1+n^{4}}\le\integral_{0}^{N} {\bruch{dx}{1+x^{4}}}[/mm]
> für alle N 2 N, ohne das Integral zu
> berechnen.
> Die Lösung gibt folgendes vor:
> Sei n [mm]\in[/mm] (1,...,N) und x [mm]\in[/mm] (n-1,n) gilt: x [mm]\le[/mm] n.
>
> Meine Frage: Weshalb lege ich n und x in dieses Intervall?
>
Weil $|n-1-n|=1$ und du somit eine äquidistante Zerlegung von [0,N] der Länge 1 erhälst.
> Gibt es eine andere Möglichkeit, die Aufgabe zu lösen?
>
> Die Abschätzung anhand der Vorgabe ist mir dann klar.
> Allerdings eben nicht, wie ich n und x wähle.
>
> DANKE
>
Ohne die Aufgabe wirklich angepackt zu haben.
Überleg dir doch mal wie Summen und Riemannintegrale zusammenhängen (Ober und Untersummen).
reicht das schon als Hinweis?
mFg iks
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Leider hilft mir der Hinweis noch nicht viel....
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:54 So 01.11.2009 | | Autor: | iks |
Muß erst mal was tun wenn dir noch nicht geholfen ist, versuchen wir es dann nochmal.
Schau dir aber bitte nochmal die Definition bzw herleitung des Riemannintegrals via R-Ober4summe und R-Untersumme an.
Was ist eine Zerlegung eines Intervalls usw.
bis später iks
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Habe jetzt in der FS nachgesehen und konnte dort eine Def. des Integrals finden. Allerdings bringt mich das auch nicht weiter...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:49 So 01.11.2009 | | Autor: | iks |
> Habe jetzt in der FS nachgesehen und konnte dort eine Def.
> des Integrals finden. Allerdings bringt mich das auch nicht
> weiter...
Wäre aber schön, wenn du aufschriebest, was du gefunden hast. Nach nochmaligem durchlesen der Aufgabenstellung habe ich desweiteren den Verdacht, das du eine Beispiellösung besitzt.
Vllt zitierst du ein wenig aus ihr - damit dein Problem besser zu Tage tritt.
mFg iks
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:33 So 01.11.2009 | | Autor: | iks |
Hi Alex!
Beweisidee:
Mit Hilfe des Integrals soll doch im Allgemeinen die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion und der x-Achse berechnet werden.
Wenn du dich nun an die Schule erinnerst - da habt ihr bestimmt lustige Rechecke unter den Graphen gezeichnet und dann die Flächeninhalte der Rechtecke addiert. Indem ihr die Kanten der Rechtecke, die auf der x-Achse liegen verkürztet wart ihr dann aber in der Lage, die Rechtecke immer besser an den Graphen anzupassen. Ähnlich kann man das mit Rechtecken machen die über dem Graphen liegen.
Schau aber einfach nochmal ![[]](/images/popup.gif) hier oder hier.
zu zeigen ist nun das [mm] $\sum_{n=0}^N\frac{1}{1+n^4}$ [/mm] eine Untersumme des Integrals ist.
Dazu zerlegen wir das Intervall $[0,N]$ in $N$ gleichgroße (gleichlange) Teilintervalle der Länge $1$.
also
[mm] $[0,1],[1,2],\cdots,[n-1,n],\cdots,[N-1,N]$ [/mm] = äquidistante Zerlegung von $[0,N]$ der Länge 1
Sei nun [mm] $f:\IR_{\ge0}\to\IR,$ $x\to f(x):=\frac{1}{1+x^4}$. [/mm] $f$ ist monoton fallend (warum? muß gezeigt werden).
Demzufolge ist für alle [mm] $x\in[n-1,n] f(x)\ge [/mm] f(n)$ und $f(n)=inf(f)$ in $[n-1,n]$
Für die Untersumme $U(f)$ von $f$ galt:
[mm] $U(f)=\sum_{k=1}^n|x_k-x_{k+1}|*\inf(f_{[x_k,x_{k+1}]})\leq\int_0^N [/mm] f(x)dx$
Jeder einzelne Summand entspricht also dem Flächeninhalt eines oben angesprochenen Rechteckes unter dem Graphen von $f$. [mm] |x_k-x_{k+1}| [/mm] ist die Seite des Rechteckes auf der x-Achse und [mm] $\inf(f_{[x_k,x_{k+1}]})$ [/mm] entspricht der Höhe des Rechteckes.
kommst du jezt weiter?
mFg iks
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