Abschätzung bei Jacobi Verfahr < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:24 So 16.11.2008 | | Autor: | Wimme |
| Aufgabe | A= [mm] \pmat{ 3 & -2 & 1 \\ -1 & 9 & 2 \\ 1 & 0 & 6 }
[/mm]
b= [mm] \pmat{ 7 \\ 0 \\ 8}
[/mm]
[mm] x^0 [/mm] von vorheriger Teilaufgabe falls nötig: [mm] x^0= \pmat{ 1 \\ 2 \\ 0}
[/mm]
Zeigen Sie, dass die Iterierte [mm] x^{(m)} [/mm] des JacobiVerfahrens (Gesamtschrittverfahren) für die angegebene Matrix A die Abschätzung:
[mm] ||A^{-1}b-x^{(m)}||_1 \leq (\frac{2}{3})^m ||A^{-1}b-x^{(0)}||_1
[/mm]
erfüllt. |
Hi!
Ich hoffe ihr könnt mir bei der Aufgabe helfen.
Also ich habe mir gedacht, dass ich mal mit der linken Seite anfange und schreibe, was das überhaupt ist:
[mm] ||A^{-1}b-x^{(m)}||_1 [/mm] = [mm] ||A^{-1}b-(x^{(m-1)}+D^{-1}(b-Ax^{(m-1)}))||_1
[/mm]
Das könnte ich natürlich fortführen, bis ich irgendwann bei [mm] x^{(0)} [/mm] angekommen bin. Aber ich erkenne kein rechtes Prinzip, ich weiß nicht, wie ich an [mm] \frac{2}{3} [/mm] kommen soll.
Ist das überhaupt so der richtige Weg?
Ich danke für Tipps!
|
|
| |
|
Hallo also dein Weg ist der Richtige. Nun musst du dir mal die Fehlerfortpflanzungsmatrix(was das ist kommt gleich) angucken.
Also
$ [mm] ||A^{-1}b-x^{(m)}||_1 [/mm] $ = $ [mm] ||A^{-1}b-(x^{(m-1)}+D^{-1}(b-Ax^{(m-1)}))||_1$ [/mm] =$ [mm] ||x-(x^{(m-1)}+D^{-1}(b-Ax^{(m-1)}))||_1$, [/mm] weil ja [mm] A^{-1}b=x [/mm] ist, wobei x die exakte Lösung von Ax=b ist. So das kann man jetzt auch schreiben als
[mm] $||x-(x^{(m-1)}+D^{-1}(b-Ax^{(m-1)}))||_1= ||(I-D^{-1}A)(x-x^{(m-1)})||_{1}$. [/mm] Jetzt nutzt du die Supmultiplikativität der 1-Norm:
[mm] $||(I-D^{-1}A)(x-x^{(m-1)})||_{1}\leq ||I-D^{-1}A||_{1}||x-x^{(m-1)}||_{1}$ [/mm]
Die Fehlerfortpflanzungsmatrix ist dann [mm] $I-D^{-1}A$. [/mm] Die musst du jetzt ausrechnen und von der Berechneten Matrix die Spaltensummennorm bestimmen. So solltest du auf [mm] \bruch{2}{3} [/mm] kommen. Da du dass jetzt ja nochmal machen kannst folgt daraus dann die zu beweisende Aussage
|
|
|
|
