Abschätzung bei einem Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:25 Mo 14.04.2008 | | Autor: | xMariex |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
[mm]\bruch{1}{2} < \integral_{0}^{1}{\bruch{dx}{\sqrt{4-x^2+x^3}}} < \bruch{\pi}{6}[/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
N'Abend,
ich versuch mein Glück gerade an obriger Aufgabe.
Ich hab mir gedacht ich fang mit dem Integral an und da fängt schon bei der Suche nach der Stamnmfunktion mein Problem an.
Ich dachte mir, ich sollte hier Substitution anwenden.
[mm]\integral_{}^{}{f(x) dx} = \integral_{}^{}{f(g(t)) g'(t)} dt[/mm]
Somit habe ich:
[mm]t= 4-x^2+x^3[/mm]
[mm]T= 4x-\bruch{1}{3}x^3+\bruch{1}{4}x^4[/mm]
und
[mm]f(u)= \bruch{1}{\sqrt{u}}[/mm]
[mm]F(u)= \wurzel[2]{u}[/mm]
wenn ich das jetzt allerdings wieder zusammenfüge wird es nur schwerer als einfacher:
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{4x-\bruch{1}{3}x^3+\bruch{1}{4}x^4}{ \sqrt{4-x^2+x^3}} dt}[/mm]
Die Berechnung der Intervallgrenzen hab ich jetzt erstmal weggelassen, dafür brauch ich ja auch erst mal die richtige Funktion.
Grüße,
Marie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:47 Mo 14.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Marie!
Wie Dein Titel bereit sagt, sollst Du hier das Integral abschätzen (und nicht die Stammfunktion explizit bestimmen).
Zum Beispiel erhältst Du einen Teil der obigen Ungleichheitskette mit:
[mm] $$\bruch{1}{\wurzel{1-x^2+x^3}} [/mm] \ < \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{1-x^2}}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Dieses Integral ist durch Anwendung des Mittelwertsatzes relativ einfach zu lösen.
Die untere Abschätzung sollte leicht von der Hand gehen, die obere ein wenig komplizierter, da du noch einen Extrempunkt bestimmen musst.
Wichtig ist hier, den Verlauf des Graphen aufzuzeigen!
Du solltest auf keinen Fall weiter an der Integration basteln! Die wäre grauenvoll lang (nach mathematica)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:49 Di 15.04.2008 | | Autor: | xMariex |
Morgen, erstmal danke für eure Tipps.
Ich habe mir jetzt den Graphen aufgezeichnet und mit 'nem Funktionsplotter schon gesehen, dass er so richtig sein sollte.
Dann hab ich schonmal den Extrempunkt ausgerechnet:
[mm]\bruch{\bruch{-2x+3x^2}{2\sqrt{4-x^2+x^3}}}{(\sqrt{4-x^2+x^3})^2}[/mm]
[mm]\bruch{-2x+3x^2}{2 \sqrt{4-2x^2+x^3}}[/mm]
[mm]0=x(-2+3x^2)[/mm]
[mm]3x^2=2[/mm]
[mm]x^2=\bruch{2}{3}[/mm]
Beim Abschätzen weiss ich leider nicht genau was genau du gemachst hast Loddar, ich hätte das so gemacht:
[mm]\bruch{1}{\sqrt{4-x^2+x^3}}[/mm]
Für alles was unter -1 liegt ist hier auf Grund der Wurzel nicht definiert. So kann x minimal 0 annehmen:
[mm]\bruch{1}{\sqrt{4}}[/mm]
somit hätte ich dann [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
Aber darf ich das so? Und muss ich nicht auch irgendwie das Integral berücksichtigen?
Grüße,
Marie
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> Aber darf ich das so? Und muss ich nicht auch irgendwie
> das Integral berücksichtigen?
Hallo,
Du darfst das, und Du mußt das Integral berücksichtigen.
Zunächst einmal hast Du jetzt die Stelle des Maximums berechnet, nun interessiert natülich noch der zugehörige Funktionswert.
Auf jeden Fall ist im fraglichen Intervall [mm] f(x)\le f(\wurzel{\bruch{2}{3}}).
[/mm]
Wenn Du nun noch glaubhaft versichern kannst, daß keine Funktionswerte unter [mm] \bruch{1}{2} [/mm] vorkommen (Deine Begründung überzeugt mich überhaupt nicht, aber da wird Dir schon noch etwas einfallen), weißt Du daß
[mm] \bruch{1}{2}\le f(x)\le f(\wurzel{\bruch{2}{3}})
[/mm]
gilt.
Nun nutzt Du die Monotonie des Integrals und bekommst
[mm] \integral_{0}^{1}\bruch{1}{2}dx\le \integral_{0}^{1}f(x)dx \le \integral_{0}^{1}f(\wurzel{\bruch{2}{3}})dx.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Di 15.04.2008 | | Autor: | xMariex |
Hi,
ich versuch es noch einmal, ich fang mal (mit dem für mich) einfacherem an:
$ f(x)< [mm] f(\wurzel{\bruch{2}{3}}) [/mm] $
Ich denk' mal du hast auch diese Zahl gemeint?
[mm]f(\wurzel{\bruch{2}{3}})= \bruch{1}{\sqrt{4-\bruch{2}{3} +\bruch{2^2}{3^2}}}[/mm]
[mm]= \bruch{1}{\sqrt{3\bruch{7}{9}}}[/mm]
ich denk' mal ich lass den Bruch so stehen, wenn ich es ausmultipliziere komme ich ungefähr auf 0.51. Und bei [mm]\bruch{\pi}{6}[/mm] auch.
Beim ersten Teil, also das mit dem 1/2. Hätte ich noch eine Begründung anzubieten.
Wenn ich nach der Monotonie des Integrals gehe (müsste ich das denn noch zeigen?), kann ich ja uch das Integral von ausreichnen.
[mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{2}} = \frac{1}{2}[/mm]
Wobei jetzt aber nicht gezeigt ist das es kleiner ist.
Grüße,
Marie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:34 Di 15.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du musst noch zeigen, dass im gegebenen Intervall f=1/2 der kleinste Wert ist, d.h. dass die Wurzel da am größten ist. für x<1 geht das direkt, weil dann [mm] x^3
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Di 15.04.2008 | | Autor: | xMariex |
Hi,
nur eine kurze Frage bevor ich anfange, reicht es dann nicht auch aus ein Minimun zu bestimmen oder meinst du genau das, wenn du vom kleinsten Wert sprichst?
Gruß,
Marie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:50 Di 15.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
natürlich reicht das ist aber nicht nötig. du musst beim Min auch sicher sein, dass es das absolute Min. im gegebenen Intervall ist.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Di 15.04.2008 | | Autor: | xMariex |
Hi,
es müsste ja reichen es für x<1 zu zeigen, denn das anderen interessiert mich ja eigelntl. nicht mein Integrationsgrezen sind ja von 0 bis 1, allerdings versteh ich dein Argument nicht das [mm] $x^3
Grüße,
Marie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:32 Di 15.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
da steht doch [mm] 4-(x^2-x^3) [/mm] das ist kleiner 4, wenn [mm] x^2-x^3>0
[/mm]
und natürlich musst du alles nur für [mm] 0\le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1 ansehen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 Di 15.04.2008 | | Autor: | xMariex |
Okay, ich versuch es noch einmal mit der Begründung
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0+} x^2-x^3 [/mm] = 0 $
ich weiss leider gerade nicht wie ich einen Pfeil von oben in TeX geht, deswegen habe ich jetzt 0+ geschrieben.
Die andere Grenze ist:
[mm] $\limes_{x \rightarrow 1-} x^2-x^3 [/mm] = 0$
Somit hätte man dann 4-0, wegen der Wurzel also wieder [mm] $\bruch{1}{2}$, [/mm] aber hab ich jetzt nicht nochmal die selbe Begründung wie oben.
Grüße,
Marie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:43 Di 15.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich erinner mich nicht an deine Begründung oben. aber dem lim brauchst du nicht.
für alle x aus dem Intervall ist [mm] 4-x^2+x^3<4 [/mm] also ist 2 der größt mögliche Nenner, also der kleinst mögliche Funktionswert.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:30 Mi 16.04.2008 | | Autor: | xMariex |
Okay danke, ich war wohl auf dem falschen Damm. Ich hab immer gedacht es muss gleich 1/2 sein. Und mich immer gewundert wo das größer her kommt. Sorry.
Grüße,
Marie
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