Abschätzung durch Bin.Lehrsatz < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:50 Di 05.11.2013 | | Autor: | Boastii |
| Aufgabe | | Beweisen Sie bitte direkt mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes, dass für alle [mm] x \in \IR_{0}^{+} [/mm] und alle [mm] n \in \IN [/mm] mit [mm] n>=2 [/mm] die Abschätzung [mm] (1+2x)^n >=n^2x^2 [/mm] gilt. |
Guten Tag, ich werde erst einmal meine Idee hier aufschreiben um Euch meinen Denkfehler zu zeigen.
[mm] (1+2x)^n \ge n^2x^2 [/mm]
[mm] \sum_{k=2}^{n} {n \choose k}1^{n-k} 2x^k \ge n^2x^2 [/mm] - nun bin ich mir mit dem nächsten Schritt schon unsicher, ich würde jetzt hier [mm] x^2 [/mm] ausklammern :
[mm] x^2 \sum_{k=2}^{n} {n \choose k} 2x^{k-2} \ge n^2 x^2 [/mm] - jetzt mache ich auf beiden Seiten [mm] : x^2 [/mm]
==> [mm] \sum_{k=2}^{n} {n \choose k} 2x^{k-2} \ge n^2 [/mm]
Jetzt ist meine Frage, stimmt das soweit? Hättet Ihr einen Tipp wie ich das weiter rechnen könnte?
MfG Boastii
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Boastii!
So ganz erschließt sich mir Deine Rechnung nicht, zumal Du auch irgendwann durch [mm]x_[/mm] teilst, was Gefahren birgt.
Wende auf den Term [mm](1+2x)^n[/mm] ganz stumpf nach Definition den Binomischen Lehrsatz an:
[mm](1+2x)^n \ = \ \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}*1^{n-k}*(2x)^k \ = \ \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}*2^k*x^k[/mm]
Und nun einfach mal die ersten Terme aufschreiben:
[mm]... \ = \ \underbrace{\vektor{n\\0}*2^0*x^0}_{k=0} \ + \ \underbrace{\vektor{n\\1}*2^1*x^1}_{k=1} \ + \ \underbrace{\vektor{n\\2}*2^2*x^2}_{k=2} \ + \ ...[/mm]
Fasse die einzelnen Terme zusammen und schätze dann ab.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:53 Di 05.11.2013 | | Autor: | Boastii |
Hey Roadrunner, danke für deine Antwort.
Also ich habe das Jetzt mal ausgeschrieben:
[mm] {n \choose 0} *2^0*x^0 + {n \choose 1} 2x^1 + {n \choose 2} 4 * x^2 +... + {n \choose n} 2^n x^n \ge n^2 x^2 [/mm]
Nebenrechnung:
[mm] {n \choose 0} = 1 ; {n \choose 1}= n ; {n \choose 2}= \frac{n*(n-1)}{2}; {n \choose n}=1 [/mm]
Somit ist:
[mm] 1*1*1 + n*2*x+ \frac{n^2-n}{2}*4*x^2+...+ n*2^n*x^n \ge n^2x^2 [/mm]
[mm] 1+ 2nx + 2n^2x^2-2nx^2 - (n^2x^2)+...+n*(2x)^n \ge 0 [/mm]
[mm] 1+ 2nx + n^2x^2-2nx^2 + ...+ n(2x)^n \ge 0 [/mm]
Hier könnte ich doch jetzt schreiben, da wir annehmen das es solch ein [mm] n \in \IN [/mm] mit [mm] n\ge 2 [/mm] gibt, sodass die obige Abschätzung gilt. Kann ich hier ja Argumentieren das der untere Term nur aus Summanden besteht die selbst nicht negativ werden können und somit die Behauptung wahr ist.
Oder müsste ich das anders hinschreiben?
Danke nochmal für Deine Hilfe.
MfG Boastii
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Hallo,
> Hey Roadrunner, danke für deine Antwort.
>
> Also ich habe das Jetzt mal ausgeschrieben:
>
> [mm]{n \choose 0} *2^0*x^0 + {n \choose 1} 2x^1 + {n \choose 2} 4 * x^2 +... + {n \choose n} 2^n x^n \ge n^2 x^2[/mm]
>
> Nebenrechnung:
> [mm]{n \choose 0} = 1 ; {n \choose 1}= n ; {n \choose 2}= \frac{n*(n-1)}{2}; {n \choose n}=1 [/mm]
>
> Somit ist:
> [mm]1*1*1 + n*2*x+ \frac{n^2-n}{2}*4*x^2+...+ n*2^n*x^n \ge n^2x^2 [/mm]
>
> [mm]1+ 2nx + 2n^2x^2-2nx^2 - (n^2x^2)+...+n*(2x)^n \ge 0 [/mm]
> [mm]1+ 2nx + n^2x^2-2nx^2 + ...+ n(2x)^n \ge 0[/mm]
>
> Hier könnte ich doch jetzt schreiben, da wir annehmen das
> es solch ein [mm]n \in \IN[/mm] mit [mm]n\ge 2[/mm] gibt, sodass die obige
> Abschätzung gilt. Kann ich hier ja Argumentieren das der
> untere Term nur aus Summanden besteht die selbst nicht
> negativ werden können und somit die Behauptung wahr ist.
>
> Oder müsste ich das anders hinschreiben?
Hmmm, es sind doch in der Summe [mm]\sum\limits_{k=0}^n\vektor{n\\k}\cdot{}(2x)^k[/mm] alle Summanden nicht-negativ.
Du kannst also locker alle Summanden bis auf den dritten wegschätzen:
[mm](1+2x)^n \ = \ \sum\limits_{k=0}^n\vektor{n\\k}\cdot{}(2x)^k \ \ge \ \frac{n(n-1)}{2}\cdot{}4x^2 \ = \ 2n^2x^2-2nx^2[/mm]
Nun brauchst du die Voraussetzung ([mm]n\ge 2[/mm])
Für [mm]n\ge 2[/mm] ist [mm]2n\le n^2[/mm], also [mm]-2n\ge -n^2[/mm] - ist dir das klar?
Damit bist du (fast) am Ziel, mache du nun die letzten Schritte ...
>
> Danke nochmal für Deine Hilfe.
> MfG Boastii
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:44 Di 05.11.2013 | | Autor: | Boastii |
Hey, danke für deine Antwort.
Ich glaube ich habs jetzt:
[mm] \sum_{k=1}^{n} {n \choose k} * (2x)^k \ge 2n^2x^2-2nx^2[/mm]
Nun setze ich das 3. Glied größer gleich dem [mm] n^2x^2 [/mm]
Nun gilt für alle [mm] n \ge 2 [/mm]:
[mm]2n^2x^2-2nx^2 \ge n^2x^2 [/mm] [mm] -2n^2x^2[/mm]
[mm] -2nx^2 \ge -n^2x^2 [/mm] [mm] : x^2 [/mm]
[mm] -2n \ge -n^2 [/mm] [mm] * (-1) [/mm]
[mm] 2n \le n^2 [/mm]
Was ja auch eine Wahre Aussage ist. Ist somit die Abschätzung bewiesen?
Gruß Boastii
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:05 Di 05.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hey, danke für deine Antwort.
> Ich glaube ich habs jetzt:
>
> [mm]\sum_{k=1}^{n} {n \choose k} * (2x)^k \ge 2n^2x^2-2nx^2[/mm]
>
> Nun setze ich das 3. Glied größer gleich dem [mm]n^2x^2[/mm]
Hä ?
>
> Nun gilt für alle [mm]n \ge 2 [/mm]:
>
> [mm]2n^2x^2-2nx^2 \ge n^2x^2[/mm] [mm]-2n^2x^2[/mm]
> [mm]-2nx^2 \ge -n^2x^2[/mm] [mm]: x^2[/mm]
> [mm]-2n \ge -n^2[/mm]
> [mm]* (-1)[/mm]
> [mm]2n \le n^2[/mm]
>
> Was ja auch eine Wahre Aussage ist. Ist somit die
> Abschätzung bewiesen?
nein.
Nun pass mal Obacht. Nochmal von vorne:
Nehmen wir an wir hätten Zahlen [mm] a_0, ....,a_n [/mm] in [mm] \IR, [/mm] die alle [mm] \ge [/mm] 0 sind.
Mach Dir klar, dass dann gilt:
[mm] \summe_{k=0}^{n}a_k \ge a_j [/mm] für jedes j =0,...,n
Zum Beispiel: ist n [mm] \ge [/mm] 2, so gilt:
(+) [mm] \summe_{k=0}^{n}a_k \ge a_2
[/mm]
Nun ist
[mm] (1+2x)^n=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}2^kx^k
[/mm]
Nach (+) ist also
[mm] (1+2x)^n \ge \vektor{n \\ 2}2^2x^2=4*\bruch{n(n-1)}{2}x^2=2*n(n-1)x^2.
[/mm]
Nun überzeuge Dich davon, dass 2n(n-1) [mm] \ge n^2 [/mm] ist, für n [mm] \ge [/mm] 2.
Damit bist Du fertig !
FRED
>
> Gruß Boastii
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 Di 05.11.2013 | | Autor: | Boastii |
Hey Fred, danke für die Antwort. Ich glaube/hoffe ich habe es jetzt verstanden :)
Ich nehme deinen Letzten Satz und löse ihn weiter auf:
[mm] 2n(n-1) \ge n^2 [/mm]
[mm] 2n^2 -2n \ge n^2 [/mm] [mm] -n^2 [/mm]
[mm] n^2 -2n \ge 0 [/mm] [mm] :n [/mm]
[mm] n-2 \ge 0 [/mm] [mm] +2 [/mm]
[mm] n \ge 2 [/mm]
Jetzt habe ich es aber bewiesen. Hätte vorher nur noch geteilt durch n machen müssen und wäre auf den selben Term gekommen.
MfG Boastii
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:33 Di 05.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hey Fred, danke für die Antwort. Ich glaube/hoffe ich habe
> es jetzt verstanden :)
>
> Ich nehme deinen Letzten Satz und löse ihn weiter auf:
> [mm]2n(n-1) \ge n^2[/mm]
> [mm]2n^2 -2n \ge n^2[/mm] [mm]-n^2[/mm]
> [mm]n^2 -2n \ge 0[/mm] [mm]:n[/mm]
> [mm]n-2 \ge 0[/mm] [mm]+2[/mm]
> [mm]n \ge 2[/mm]
>
> Jetzt habe ich es aber bewiesen.
Ja
FRED
> Hätte vorher nur noch
> geteilt durch n machen müssen und wäre auf den selben
> Term gekommen.
>
> MfG Boastii
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:35 Di 05.11.2013 | | Autor: | Boastii |
Danke an alle die geholfen habe. Solch ein Denkfehler wird mir hoffentlich nicht mehr unterlaufen :)
Schönen Tag noch.
Gruß Boastii
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