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| Aufgabe | (a) Sei f: [mm] \mathebb{D} \to \mathebb{D} [/mm] holomorph.
Zeige: |f'(z)| [mm] \le \bruch{1-|f(z)|^2}{1-|z|^2} [/mm] für z [mm] \in \mathebb{D}.
[/mm]
Wann gilt Gleichheit?
(b) Sei f: [mm] \mathebb{D} \to \mathebb{G} [/mm] biholomorph.
Zeige: |f'(0)| [mm] \ge dist(f(0),\partial [/mm] G) |
Hi!
Ich hing letztens an einer ähnlichen Aufgabe, bei der mir leider keiner helfen konnte, trotzdem probiere ich es hier nochmal.
(a)
Was ich weis (aus einer vorherigen Aufgabe):
|f'(z)| [mm] \le \bruch{1}{1-|z|} \le \bruch{1}{(1-|z|)^2}
[/mm]
Mein Ansatz wären die Cauchy Ungleichungen für n=1:
|f'(z)| [mm] \le \bruch{r}{\delta^2} \max_{|z|=r}|f(z)| [/mm] mit [mm] \delta \le [/mm] r
Da die Funktion von [mm] \mathebb{D} [/mm] nach [mm] \mathebb{D} [/mm] abbildet kann ich doch r=1 voraussetzen und [mm] max_{|z|=1}|f(z)|=1, [/mm] oder?
[mm] \Rightarrow [/mm] |f'(z)| [mm] \le \bruch{1}{\delta^2}
[/mm]
Aber ich habe das komische Gefühl das bringt mir gar nichts....
(b) Hier würde ich spontan ans Minimum/Maximumprinzip denken, komm aber nicht weiter.
Vielen Dank im voraus
GREETz
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:27 Di 26.05.2009 | | Autor: | abakus |
> (a) Sei f: [mm]\mathebb{D} \to \mathebb{D}[/mm] holomorph.
> Zeige: |f'(z)| [mm]\le \bruch{1-|f(z)|^2}{1-|z|^2}[/mm] für z [mm]\in \mathebb{D}.[/mm]
>
Ich habe keine Ahnung, aber vielleicht hilft es, dass im rechten Term in Zähler und Nenner eine binomische Formel angewendet werden kann? So lässt sich der Term als Produkt schreiben.
Gruß Abakus
> Wann gilt Gleichheit?
>
> (b) Sei f: [mm]\mathebb{D} \to \mathebb{G}[/mm] biholomorph.
> Zeige: |f'(0)| [mm]\ge dist(f(0),\partial[/mm] G)
> Hi!
> Ich hing letztens an einer ähnlichen Aufgabe, bei der mir
> leider keiner helfen konnte, trotzdem probiere ich es hier
> nochmal.
>
> (a)
> Was ich weis (aus einer vorherigen Aufgabe):
> |f'(z)| [mm]\le \bruch{1}{1-|z|} \le \bruch{1}{(1-|z|)^2}[/mm]
>
> Mein Ansatz wären die Cauchy Ungleichungen für n=1:
>
> |f'(z)| [mm]\le \bruch{r}{\delta^2} \max_{|z|=r}|f(z)|[/mm] mit
> [mm]\delta \le[/mm] r
>
> Da die Funktion von [mm]\mathebb{D}[/mm] nach [mm]\mathebb{D}[/mm] abbildet
> kann ich doch r=1 voraussetzen und [mm]max_{|z|=1}|f(z)|=1,[/mm]
> oder?
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] |f'(z)| [mm]\le \bruch{1}{\delta^2}[/mm]
>
> Aber ich habe das komische Gefühl das bringt mir gar
> nichts....
>
> (b) Hier würde ich spontan ans Minimum/Maximumprinzip
> denken, komm aber nicht weiter.
>
>
> Vielen Dank im voraus
>
> GREETz
>
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Hi!
OK, das würde heißen:
Zu zeigen: |f'(z)| [mm] \le \bruch{(1-|f(z)|)(1+|f(z)|)}{(1-|z|)(1+|z|)}
[/mm]
Bringt mich aber leider auch keinen Schritt weiter...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:45 Mi 27.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hi!
> OK, das würde heißen:
> Zu zeigen: |f'(z)| [mm]\le \bruch{(1-|f(z)|)(1+|f(z)|)}{(1-|z|)(1+|z|)}[/mm]
>
> Bringt mich aber leider auch keinen Schritt weiter...
Das verstehe ich gut .....
Schau mal hier:
https://matheraum.de/read?t=553853
FRED
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Hi!
Damit ist die a) erledigt, danke.
Hat noch jemand einen Tip für die b) ?
GREETz
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:57 Do 28.05.2009 | | Autor: | fred97 |
b): Sei [mm] $w_0 [/mm] := f(0)$ und $ [mm] \delta [/mm] := [mm] dist(w_0, \partial [/mm] G)$
Wähle r>0 mit r< [mm] \delta. [/mm] Wegen [mm] $|f^{-1}(w)| [/mm] <1$ für jedes $w [mm] \in [/mm] G$ folgt mit den Cauchyschen Abschätzungen:
[mm] $|(f^{-1})'(w_0)| \le [/mm] 1/r$
Mit r [mm] \to \delta [/mm] folgt:
[mm] $|(f^{-1})'(w_0)| \le [/mm] 1/ [mm] \delta$
[/mm]
Wegen
$f'(0) = [mm] \bruch{1}{(f^{-1})'(w_0)}$ [/mm]
folgt dann die Behauptung
FRED
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