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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Abschätzung einer Ableitung
Abschätzung einer Ableitung < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Abschätzung einer Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:13 Di 26.05.2009
Autor: SurvivalEddie

Aufgabe
(a) Sei f: [mm] \mathebb{D} \to \mathebb{D} [/mm] holomorph.
Zeige: |f'(z)| [mm] \le \bruch{1-|f(z)|^2}{1-|z|^2} [/mm] für z [mm] \in \mathebb{D}. [/mm]
Wann gilt Gleichheit?

(b) Sei f:  [mm] \mathebb{D} \to \mathebb{G} [/mm] biholomorph.
Zeige: |f'(0)| [mm] \ge dist(f(0),\partial [/mm] G)

Hi!
Ich hing letztens an einer ähnlichen Aufgabe, bei der mir leider keiner helfen konnte, trotzdem probiere ich es hier nochmal.

(a)
Was ich weis (aus einer vorherigen Aufgabe):
|f'(z)| [mm] \le \bruch{1}{1-|z|} \le \bruch{1}{(1-|z|)^2} [/mm]
Mein Ansatz wären die Cauchy Ungleichungen für n=1:

|f'(z)| [mm] \le \bruch{r}{\delta^2} \max_{|z|=r}|f(z)| [/mm] mit [mm] \delta \le [/mm] r

Da die Funktion von [mm] \mathebb{D} [/mm] nach [mm] \mathebb{D} [/mm] abbildet kann ich doch r=1 voraussetzen und [mm] max_{|z|=1}|f(z)|=1, [/mm] oder?

[mm] \Rightarrow [/mm] |f'(z)| [mm] \le \bruch{1}{\delta^2} [/mm]

Aber ich habe das komische Gefühl das bringt mir gar nichts....

(b) Hier würde ich spontan ans Minimum/Maximumprinzip denken, komm aber nicht weiter.


Vielen Dank im voraus

GREETz



        
Bezug
Abschätzung einer Ableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:27 Di 26.05.2009
Autor: abakus


> (a) Sei f: [mm]\mathebb{D} \to \mathebb{D}[/mm] holomorph.
>  Zeige: |f'(z)| [mm]\le \bruch{1-|f(z)|^2}{1-|z|^2}[/mm] für z [mm]\in \mathebb{D}.[/mm]
>  

Ich habe keine Ahnung, aber vielleicht hilft es, dass im rechten Term in Zähler und Nenner eine binomische Formel angewendet werden kann? So lässt sich der Term als Produkt schreiben.
Gruß Abakus

> Wann gilt Gleichheit?
>  
> (b) Sei f:  [mm]\mathebb{D} \to \mathebb{G}[/mm] biholomorph.
>  Zeige: |f'(0)| [mm]\ge dist(f(0),\partial[/mm] G)
>  Hi!
>  Ich hing letztens an einer ähnlichen Aufgabe, bei der mir
> leider keiner helfen konnte, trotzdem probiere ich es hier
> nochmal.
>  
> (a)
>  Was ich weis (aus einer vorherigen Aufgabe):
>  |f'(z)| [mm]\le \bruch{1}{1-|z|} \le \bruch{1}{(1-|z|)^2}[/mm]
>  
> Mein Ansatz wären die Cauchy Ungleichungen für n=1:
>  
> |f'(z)| [mm]\le \bruch{r}{\delta^2} \max_{|z|=r}|f(z)|[/mm] mit
> [mm]\delta \le[/mm] r
>  
> Da die Funktion von [mm]\mathebb{D}[/mm] nach [mm]\mathebb{D}[/mm] abbildet
> kann ich doch r=1 voraussetzen und [mm]max_{|z|=1}|f(z)|=1,[/mm]
> oder?
>  
> [mm]\Rightarrow[/mm] |f'(z)| [mm]\le \bruch{1}{\delta^2}[/mm]
>  
> Aber ich habe das komische Gefühl das bringt mir gar
> nichts....
>  
> (b) Hier würde ich spontan ans Minimum/Maximumprinzip
> denken, komm aber nicht weiter.
>  
>
> Vielen Dank im voraus
>  
> GREETz
>  
>  


Bezug
                
Bezug
Abschätzung einer Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:26 Di 26.05.2009
Autor: SurvivalEddie

Hi!
OK, das würde heißen:
Zu zeigen: |f'(z)| [mm] \le \bruch{(1-|f(z)|)(1+|f(z)|)}{(1-|z|)(1+|z|)} [/mm]

Bringt mich aber leider auch keinen Schritt weiter...

Bezug
                        
Bezug
Abschätzung einer Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:45 Mi 27.05.2009
Autor: fred97


> Hi!
>  OK, das würde heißen:
>  Zu zeigen: |f'(z)| [mm]\le \bruch{(1-|f(z)|)(1+|f(z)|)}{(1-|z|)(1+|z|)}[/mm]
>  
> Bringt mich aber leider auch keinen Schritt weiter...


Das verstehe ich gut .....

Schau mal hier:

https://matheraum.de/read?t=553853


FRED

Bezug
                                
Bezug
Abschätzung einer Ableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:51 Mi 27.05.2009
Autor: SurvivalEddie

Hi!
Damit ist die a) erledigt, danke.

Hat noch jemand einen Tip für die b) ?

GREETz

Bezug
        
Bezug
Abschätzung einer Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:57 Do 28.05.2009
Autor: fred97

b): Sei [mm] $w_0 [/mm] := f(0)$ und $ [mm] \delta [/mm] := [mm] dist(w_0, \partial [/mm] G)$

Wähle r>0 mit r< [mm] \delta. [/mm] Wegen [mm] $|f^{-1}(w)| [/mm] <1$ für jedes $w [mm] \in [/mm] G$ folgt mit den Cauchyschen Abschätzungen:

   [mm] $|(f^{-1})'(w_0)| \le [/mm] 1/r$

Mit r [mm] \to \delta [/mm] folgt:

    [mm] $|(f^{-1})'(w_0)| \le [/mm] 1/ [mm] \delta$ [/mm]

Wegen

    $f'(0) = [mm] \bruch{1}{(f^{-1})'(w_0)}$ [/mm]


folgt dann die Behauptung

FRED

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