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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:06 Di 05.05.2009 | | Autor: | Frisco |
| Aufgabe | x'(t)=-u(t)x(t)+v(t) , mit [mm] x(0)=x_{0}\ge [/mm] 0 (1)
wobei h,v stetige Funktionen sind von [mm] \IR_{+} [/mm] nach [mm] \IR_{+}
[/mm]
a.)
Sei x1(t) die Lösung von (1) setzen weiter [mm] \alpha [/mm] :=inf{u(t) [mm] t\ge [/mm] 0 } und
[mm] \beta [/mm] :=sup{v(t) [mm] t\ge [/mm] 0 } Zeigen sie dass gilt:
0 [mm] \le [/mm] x1(t) [mm] \le x_{0}+\bruch{\beta}{\alpha} [/mm] für t [mm] \ge [/mm] 0
falls [mm] \alpha [/mm] >0 und [mm] \beta [/mm] < [mm] \infty
[/mm]
b.)
Sei nun [mm] u_{1} [/mm] und [mm] u_{2} [/mm] gegeben mit
0 [mm] \le u_{1}(t) \le u_{2}(t) [/mm] für [mm] t\ge [/mm] 0
Bezeichnen nun [mm] x1_{1} [/mm] und [mm] x2_{2} [/mm] als Lösungen von (1)
zeigen Sie dass gilt:
[mm] x1_{1}(t) \ge x2_{2}(t) [/mm] für alle t [mm] \ge [/mm] 0
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ich meine die Aufgabe ist eigentlich schon klar!
Man kann es sich ja anhand eines Zufluss bzw. Abfluss Modell vorstellen!
Aber irgendwie bekomme ich dass nicht formal aufgeschrieben!!
Habt ihr vielleicht einen guten Tipp wie man diese Aufgabe lösen kann??
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Hi,
> x'(t)=-u(t)x(t)+v(t) , mit [mm]x(0)=x_{0}\ge[/mm] 0 (1)
> wobei h,v stetige Funktionen sind von [mm]\IR_{+}[/mm] nach
> [mm]\IR_{+}[/mm]
> a.)
> Sei x1(t) die Lösung von (1) setzen weiter [mm]\alpha[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> :=inf{u(t) [mm]t\ge[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
0 } und
> [mm]\beta[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:=sup{v(t) [mm]t\ge[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
0 } Zeigen sie dass gilt:
> 0 [mm]\le[/mm] x1(t) [mm]\le x_{0}+\bruch{\beta}{\alpha}[/mm] für t [mm]\ge[/mm] 0
> falls [mm]\alpha[/mm] >0 und [mm]\beta[/mm] < [mm]\infty[/mm]
>
> b.)
> Sei nun [mm]u_{1}[/mm] und [mm]u_{2}[/mm] gegeben mit
> 0 [mm]\le u_{1}(t) \le u_{2}(t)[/mm] für [mm]t\ge[/mm] 0
> Bezeichnen nun [mm]x1_{1}[/mm] und [mm]x2_{2}[/mm] als Lösungen von (1)
> zeigen Sie dass gilt:
> [mm]x1_{1}(t) \ge x2_{2}(t)[/mm] für alle t [mm]\ge[/mm] 0
>
>
> ich meine die Aufgabe ist eigentlich schon klar!
> Man kann es sich ja anhand eines Zufluss bzw. Abfluss
> Modell vorstellen!
> Aber irgendwie bekomme ich dass nicht formal
> aufgeschrieben!!
> Habt ihr vielleicht einen guten Tipp wie man diese Aufgabe
> lösen kann??
hattet ihr in der vorlesung das gronwall lemma? Fuer mich sieht das stark so aus, als ob man das hier anwenden muesste/koennte...
gruss
matthias
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