Abschätzung n! < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 Mo 02.02.2015 | | Autor: | sandroid |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe 1 | Beweise mit den Aufgaben 2 und 3 die folgenden Abschätzung für n!:
3(\bruch{n}{3})^{n}\le n!\le2(\bruch{n}{2})^{n} |
| Aufgabe 2 | a) $ (1+\bruch{1}{1})^{1}(1+\bruch{1}{2})^{2}(1+\bruch{1}{3})^{3}...(1+\bruch{1}{n-1})^{n-1}}=\bruch{n^{n}}{n!} $
b) $ (1+\bruch{1}{1})^{2}(1+\bruch{1}{2})^{3}(1+\bruch{1}{3})^{4}...(1+\bruch{1}{n-1})^{n}=\bruch{n^{n}}{(n-1)!} $ |
| Aufgabe 3 | Für alle natürlichen n ist
(1+\bruch{1}{n})^{n}<3 und (1+\bruch{1}{n})^{n+1}>(1+\bruch{1}{n})^n\ge2 |
Mir fehlt jeder vernünftige Ansatz.
Danke für jeglichen Hinweis.
Gruß,
sandroid
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:11 Mo 02.02.2015 | | Autor: | huddel |
Ich habs mir jetzt noch nicht genauer angeguckt, aber so wie das aussieht schreit es förmlich nach Induktion.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:47 Mo 02.02.2015 | | Autor: | statler |
Hi, willkommen im Matheraum!
> Beweise mit den Aufgaben 2 und 3 die folgenden Abschätzung
> für n!:
>
> [mm]3(\bruch{n}{3})^{n}\le n!\le2(\bruch{n}{2})^{n}[/mm]
> a)
> [mm](1+\bruch{1}{1})^{1}(1+\bruch{1}{2})^{2}(1+\bruch{1}{3})^{3}[/mm]
Das kannst du doch einfach ausrechnen, zur Not mit dem TR.
>
> b)
> [mm](1+\bruch{1}{1})^{2}(1+\bruch{1}{2})^{3}(1+\bruch{1}{3})^{4}...(1+\bruch{1}{n-1})^{n}=\bruch{n^{n}}{(n-1)!}[/mm]
Und das könnte man wohl mit vollständiger Induktion beweisen.
> Für alle natürlichen n ist
>
> [mm](1+\bruch{1}{n})^{n}<3[/mm] und
> [mm](1+\bruch{1}{n})^{n+1}>(1+\bruch{1}{n})^n\ge2[/mm]
Das ist etwas haariger, hast du mal ein paar Terme ausgerechnet?
> Mir fehlt jeder vernünftige Ansatz.
Hm, schade!
Gruß Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Di 03.02.2015 | | Autor: | sandroid |
Hallo,
erst einmal danke für Ihr Reagieren auf meine Frage.
Ich bitte um Entschuldigung, die Frage 2 a) war nicht vollständig. Natürlich muss ich da nicht einfach nur etwas ausrechnen.
Aufgabe 2 und 3 lassen sich beide einfach beweisen. Beide habe ich bereits bewiesen und z.B. zu 2a) existiert noch ein alter beantworteter Fragethread hier irgendwo. Es geht mir nur um Aufgabe 1. Die anderen habe ich nur erwähnt, weil darauf Bezug genommen wird.
Ob ich bereits einige Terme ausgerechnet habe? Ja, gerade eben:
Für n = 1; 2; 3; 4; 5 gibt [mm] 3(\bruch{n}{3})^{n} [/mm] = 1; [mm] \bruch{4}{3}; [/mm] 3; 4; 38,580...
Für n = 1; 2; 3; 4; 5 gibt n! = 1; 2; 6; 24; 120
Daraus bin ich leider noch nicht schlauer geworden. Haben Sie noch mehr / konkretere Hinweise für mich?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:12 Di 03.02.2015 | | Autor: | statler |
Hallo!
In 2a kannst du jeden Faktor mit Hilfe der 1. Ungl. von 3 nach oben abschätzen, das gibt umgeformt die Ungleichung von 1, in der die 3 vorkommt; in 2b kannst du jeden Faktor mit Hilfe der 2. Ungl. von 3 nach unten abschätzen, das gibt umgeformt die Ungleichung von 1, in der die 2 vorkommt.
Gruß Dieter
PS: Wir sind hier üblicherweise per du.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:52 Di 03.02.2015 | | Autor: | sandroid |
Danke Dieter für deine zur Lösung führenden Hinweise!
Und danke natürlich auch für das Du.
Gruß,
sandroid
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