Abschätzung reeller Potenzen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Man zeige: [mm] U(\mu,\delta)=\mu-\lambda \delta^q [/mm] mit [mm] \lambda \geq [/mm] 0, q >1, [mm] \mu \in \IR, \delta \geq [/mm] 0 ist konkav in beiden Argumenten. |
Hallo zusammen,
ich stehe bei dieser Aufgabe etwas auf dem Schlauch. Habe schon versucht mit irgendwelchen Normen oder wichtigen Ungleichungen reinzugehe, das will aber nicht recht werden. Vielleicht kann mir jemand eine geeignete Abschätzungsidee für die Ungleichung geben?
[mm] U(t\mu_1+(1-t)\mu_2, t\delta_1+(1-t)\delta_2)
[/mm]
= [mm] t\mu_1 [/mm] + [mm] (1-t)\mu_2 [/mm] - [mm] \lambda(t\delta_1+(1-t)\delta_2)^q
[/mm]
[mm] \geq t\mu_1-\lambda t\delta_1^q [/mm] + [mm] (1-t)(\mu_2-\lambda\delta_2^q)
[/mm]
[mm] =tU(\mu_1,\delta_1)+(1-t)U(\mu_2,\delta_2).
[/mm]
Es muss ja dann gelten
[mm] (t\delta_1+(1-t)\delta_2)^q \leq t\delta_1^q+(1-t)\delta_2^q
[/mm]
und das will mir nicht recht einleuchten.
Vielen Dank!!
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:29 Fr 12.09.2014 | | Autor: | fred97 |
> Man zeige: [mm]U(\mu,\delta)=\mu-\lambda \delta^q[/mm] mit [mm]\lambda \geq[/mm]
> 0, q >1, [mm]\mu \in \IR, \delta \geq[/mm] 0 ist konkav in beiden
> Argumenten.
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> Hallo zusammen,
>
> ich stehe bei dieser Aufgabe etwas auf dem Schlauch. Habe
> schon versucht mit irgendwelchen Normen oder wichtigen
> Ungleichungen reinzugehe, das will aber nicht recht werden.
> Vielleicht kann mir jemand eine geeignete Abschätzungsidee
> für die Ungleichung geben?
>
> [mm]U(t\mu_1+(1-t)\mu_2, t\delta_1+(1-t)\delta_2)[/mm]
> = [mm]t\mu_1[/mm] +
> [mm](1-t)\mu_2[/mm] - [mm]\lambda(t\delta_1+(1-t)\delta_2)^q[/mm]
> [mm]\geq t\mu_1-\lambda t\delta_1^q[/mm] +
> [mm](1-t)(\mu_2-\lambda\delta_2^q)[/mm]
> [mm]=tU(\mu_1,\delta_1)+(1-t)U(\mu_2,\delta_2).[/mm]
>
> Es muss ja dann gelten
>
> [mm](t\delta_1+(1-t)\delta_2)^q \leq t\delta_1^q+(1-t)\delta_2^q[/mm]
>
> und das will mir nicht recht einleuchten.
Für q>1 ist die Funktion [mm] f(x):=x^q [/mm] auf [0, [mm] \infty) [/mm] konvex !
FRED
>
> Vielen Dank!!
> LG
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Hallo FRED,
vielen Dank für deine Antwort! Jetzt hab ichs auch eingesehen. ;)
LG
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