Abschätzung von exp < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei $r>0$. Zeige, dass für jedes beliebige $a>0$ eine positive Konstante $C(a)$ existiert, so dass
$exp(-1/r) [mm] \leq C_{a}r^{a}$ [/mm] gilt. |
Hallo,
ich sitze schon länger an dieser oberen Grenze, aber schaffe es nicht so recht. Sei [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] gegeben.
Ich habs mit sowas versucht [mm] $r^a=\exp(a \ln(r))$, [/mm] bin damit aber nicht weiter gekommen.
Ist die Abschätzung so offensichtlich und ich bin blind?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:03 So 13.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]r>0[/mm]. Zeige, dass für jedes beliebige [mm]a>0[/mm] eine positive
> Konstante [mm]C(a)[/mm] existiert, so dass
> [mm]exp(-1/r) \leq C_{a}r^{a}[/mm] gilt.
> Hallo,
>
> ich sitze schon länger an dieser oberen Grenze, aber
> schaffe es nicht so recht. Sei [mm]\varepsilon>0[/mm] gegeben.
> Ich habs mit sowas versucht [mm]r^a=\exp(a \ln(r))[/mm], bin damit
> aber nicht weiter gekommen.
> Ist die Abschätzung so offensichtlich und ich bin blind?
So wie die Aufgabe oben steht ist sie trivial ! Sind a und r positiv, so setze
[mm] C_a=\bruch{exp(-1/r)}{r^a}.
[/mm]
Ich denke, die Aufgabe ist so gemeint: sei a>0 und [mm] f(r):=\bruch{exp(-1/r)}{r^a}.
[/mm]
Zu zeigen ist, dass f auf (0, [mm] \infty) [/mm] beschränkt ist.
Mit der Substitution t=1/r ist zu zeigen: [mm] \bruch{t^a}{e^t} [/mm] ist auf (0, [mm] \infty) [/mm] beschränkt
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:14 So 13.07.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
dividier die Ungleichung durch [mm] r^a, [/mm] am besten in deiner Form- dann berechne das Max der linken Seite, ich denk, das ist das einfachste, sonst Exponentialreihe von -1/r durch [mm] r^a
[/mm]
aber das ist länglicher
Gruß leduart
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