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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:54 Sa 30.04.2011 | | Autor: | aly19 |
| Aufgabe | Es sei f [mm] \in \mathcal{L}^2, E(f)=\int [/mm] f [mm] d\mu, Var(f)=\int (f-E(f))^2 d\mu [/mm] , c>0. zeigen sie:
1) [mm] \mu(f-E(f)\geq c)\leq \bruch{Var(f)+t^2}{(c+t)^2}
[/mm]
[mm] 2)\mu(f-E(f)\geq c)\leq \bruch{Var(f)}{(c)^2+Var(f)} [/mm] |
Hi ich komme da einfach nicht weiter. Ich denke ich werde Tschebyschef anwenden müssen.
Wir haben das so definiert:
[mm] \mu(f\geq \espilson )\leq 1/g(\epsilon) \int [/mm] g(f) [mm] d\mu, [/mm] mit [mm] \epsilon [/mm] >0 und g monoton wachsend.
Wenn ich für 1) jetzt [mm] g(x)=(x+t)^2 [/mm] wähle, dann ich das ja monoton wachsend, da ich nur positive argumente habe oder?
also:
[mm] \mu(f-E(f)\geq c)\leq \bruch{\int (f-E(f)+t)^2 d\mu}{(c+t)^2}=\bruch{1}{(c+t)^2}( \int (f-E(f))^2 d\mu +\int t^2 d\mu +\int [/mm] 2t(f-E(f)) [mm] d\mu [/mm] )
das kommt ja irgendwie nicht hin.
hat jemand einen tipp für die beiden abschätzungen für mich?
Wäre super,
viele grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:19 Sa 30.04.2011 | | Autor: | Fry |
Hey Aly,
zu (1) [mm] \mu(f-E(f)\ge c)=\mu(f-E(f)+t\ge c+t)\le \bruch{E(f-E(f)+t)^2)}{(c+t)^2}
[/mm]
wobei ich im letzten Schritt die Markov-(Tschebyscheff)-Ungleichung mit [mm] g(x)=x^2 [/mm] verwendet hab. Dann noch ein bisschen umformen.
zu (2):
(1) mit [mm] t=\bruch{Var(X)}{c} [/mm] benutzen
Viele Grüße!
Fry
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:33 Sa 30.04.2011 | | Autor: | Fry |
zu (1) nochmal, für den Zähler gilt:
= [mm] E((f-E(f))^2+2*(f-E(f))*t+t^2)
[/mm]
[mm] =Var(f)+2*(E(f)-E(f))*t+t^2)=Var(f)+t^2
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:39 Sa 30.04.2011 | | Autor: | Fry |
...wobei das natürlich nur gilt, wenn es sich bei [mm] \mu [/mm] um ein Wmaß handelt.mmmm...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:42 Sa 30.04.2011 | | Autor: | aly19 |
danke für deine schnelle antwort, mit deinem tipp kann ich 2) zeigen, wenn ich 1) anwende.
bei 1) war ich auch bei der umformung, die du gerade noch geschrieben hast, ist also E(E(X))=E(X)? Muss ja eigentlich, weil wir ja eine konstante beim erwartungswert rauskriegen und der erwartungswert von einer konstanten ist wieder eine konstante. das geht bei der umformung doch ein oder?
viele grüße :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:43 Sa 30.04.2011 | | Autor: | aly19 |
es muss ein w-maß sein, damit [mm] \int t^2 d\mu= t^2 \int d\mu=t^2 [/mm] ist oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:47 Sa 30.04.2011 | | Autor: | Fry |
Ja, wundert mich nur, weils ja nicht in deiner Aufgabenstellung steht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:45 Sa 30.04.2011 | | Autor: | Fry |
Jap, genau!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 Sa 30.04.2011 | | Autor: | aly19 |
ok danke, ich denke ich habs soweit verstanden. ich werde nochmal nachfragen, ob es ein w-maß ist, vielleicht wurde es in der aufgabenstellung einfach vergessen.
soweit erstmal vielen dank.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:52 Sa 30.04.2011 | | Autor: | Fry |
Gern geschehen ;)
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