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| Aufgabe | Finden Sie a, b ∈ [mm] \IR, [/mm] so dass a ≤ f(x) ≤ b gilt für alle x ∈ [-5,3] für folgende Funktionen:
f1(x) = [mm] x^2; [/mm] f2(x) = [mm] x^3-7x+2; [/mm] f3(x) = [mm] \bruch{x+1}{x-5}; [/mm] f4(x) = [mm] \bruch{x^3-4x+5}{x^2-3x+28}; [/mm] f5(x) = [mm] \bruch{x^2+3x-7}{x^2-36} [/mm] |
Hallo zusammen,
es geht um das Thema Abschätzungen (in diesem Fall mit Betragsungleichungen)
Es gibt einen hierzu einen Artikel bei Wikipedia, aus dem ich leider auch nicht schlau werde: ![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Absch%C3%A4tzung
(andere Quellen habe ich leider nicht gefunden)
Habe schon etwas rumgetüftelt, aber komme einfach nicht auf die Lösungen, die der Prof erwartet (zudem gibt es nur einen Weg, siehe dazu Lösung!)
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Hier einmal die Lösungshinweise vom Prof. selbst (für f4):
[m] \left|x^3 - 4x + 5\right|\le \left|x^3 - 4x\right|+\left|5\right|\le\left| x^3 \right|+\left|4x\right|+5=\left|x\right|^3+4 \left|x\right|+5\le 5^3+4*5+5=150[/m]
Bei [m]\left| x \right|[/m] (im vorletzten Schritt) wird mit [mm] \le [/mm] 5 abgeschätzt.
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[m]\left| x^2 - 3x + 28 \right| \ge \left| \left| x^2 + 28 \right| - \left| 3x \right| \right| \ge \left| x^2 + 28 \right| - 3 \left| x \right| \ge x^2+ 28 - 3 \left| x \right| \ge 0 + 28 -3 * 5 = 13 [/m]
Bei [m]x^2[/m] wird mit [mm] \ge [/mm] 0 abgeschätzt.
Bei [m]\left| x \right|[/m] wird mit (Abschaetzung mit [mm] \le [/mm] 5)
.... dies gilt für beide Ausdrücke im vorletzten Schritt!
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Kann mir jemand die obigen Abschätzungen erklären? Wieso wird mit Werten wie 5 und 0 abgeschätzt, wenn das Intervall von [-3, 5] läuft?
Wenn ich das richtig verstehe, sollen die Funktionen mit dem o.g. (abgeschlossenen) Intervall abgeschätzt werden. Ich hätte jetzt eine Abschätzung nach oben (also [mm] \le [/mm] 3) und eine Abschätzung nach unten (also [mm] \ge [/mm] -5) vorgenommen. Beispielsweise bei f1: Hier kommt bei [mm] \ge [/mm] -5 ein Funktionswert von 25 raus, bei [mm] \le [/mm] 3 kommt ein Funktionswert von 9 raus. Da es sich um eine quadratische Funktion wird, tauchen sowieso nur positive in der Wertemenge auf, also [m]\IR[sub]++[/sub][/m]. Bei x = 0 nimmt f(x) aber 0 an, also haben wir ein abgeschlossenes Intervall von [m] [0, 25] [/m].
Könnte mir jemand exemplarisch (bspw. für f2erklären, wie bei i.A. bei solchen Aufgaben vorgeht? Es ist ein enorm wichtiges Thema und vermutlich auch Bestandteil der anstehenden Klausur.
Wichtig ist, dass es genau auf dem Weg geschieht, wie es oben genannt wird (andere Wege gelten i.d.R. nicht bzw. mehr sollte nicht dazu geschrieben werden)
Vielen Dank im voraus für Eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:48 Mi 19.02.2014 | | Autor: | chrisno |
Hallo,
ich sortiere Deine Beitrag etwas um:
> Wenn ich das richtig verstehe, sollen die Funktionen mit
> dem o.g. (abgeschlossenen) Intervall abgeschätzt werden.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich hätte jetzt eine Abschätzung nach oben (also [mm]\le[/mm] 3)
> und eine Abschätzung nach unten (also [mm]\ge[/mm] -5) vorgenommen.
Schreibe präziser: was ist [mm] $\le [/mm] 3$?
3 und -5 sind die Grenzen des Definitonsbereichs. Diese kannst Du für die Abschätzung benutzen, wenn Du eine Begründung dafür hast. Die Monotonie der Funktion ist dann der Klassiker. Sobald die Funktion ein lokales Extremum hat, kann das größere Werte als die Funktionswerte am Rand annehmen. Genau das machst Du selbst im Folgenden:
> Beispielsweise bei f1: Hier kommt bei [mm]\ge[/mm] -5 ein
> Funktionswert von 25 raus, bei [mm]\le[/mm] 3 kommt ein
> Funktionswert von 9 raus. Da es sich um eine quadratische
> Funktion wird, tauchen sowieso nur positive in der
> Wertemenge auf, also [m]\IR[sub]++[/sub][/m]. Bei x = 0 nimmt f(x)
> aber 0 an, also haben wir ein abgeschlossenes Intervall von
> [m][0, 25] [/m].
Genauer: Du hast das Intervall in zwei Teilintervalle zerlegt. Nur wegen der Monotonie in diesen Intervallen kannst Du so argumentieren.
> Könnte mir jemand exemplarisch (bspw. für
> f2erklären, wie bei i.A. bei solchen Aufgaben
> vorgeht? Es ist ein enorm wichtiges Thema und vermutlich
> auch Bestandteil der anstehenden Klausur.
Die Abschätzung erfolgt über die Dreiecksunglichung. Ich erkläre mal die Abschätzung für den Zähler von [mm] $f_4$. [/mm] Die erste Frage ist: welche Zahl g ist auf jeden Fall größer als der Betrag dieses Zählers? Damit wird der Zähler gleichzeitig mit einer Zahl nach oben und unten abgeschätzt.
[mm] $\left|x^3 - 4x + 5\right|\le [/mm] g$ und g ist gesucht.
Das Problem ist das Minuszeichen vor der 4. Sonst hätten [mm] $x^3 [/mm] und 4x immer das gleich Vorzeichen. Allerdings wechselt das auch, während +5 stehen bleibt. Daher werden mit der Dreiecksungleichung alle Terme in Betragsstriche gesperrt.
[mm] $\left|x^3 - 4x + 5\right|\le \left|x^3 - 4x\right|+\left|5\right||\le\left| x^3 \right|+\left|4x\right|+5=\left|x\right|^3+4 \left|x\right|+5\$
[/mm]
Nun bist Du in der Situation wie bei [mm] $f_1$. [/mm] Die Funktion hat ein Minimum bei x=0 und verläuft vorher monoton fallend, danach monoton steigend. Also reicht es, die beiden Randpunkte zu betrachten. Da die Funktion symmetrisch ist $f(x) = f(-x)$ gewinnt der Randpunkt mit dem größeren Betrag; x = 5.
Dieser wird eingesetzt und [mm] $5^3+4*5 [/mm] + 5 = 125 +20+5 = 150$
Nun sollte man mal festhalten, was gefunden wurde: Für das Intervall gilt, dass $-150 [mm] \le [/mm] f(x) [mm] \le [/mm] 150$
Das ist mir etwas primitiv, wenn Du es genau so machen sollst, dann wird das Denken deinerseits minimal gehalten, seis drum.
Nun bist Du erst einmal mit dem Term von [mm] $f_2$ [/mm] dran, danach geht es weiter.
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Hallo.
Danke erstmal für die Antwort!
Ich habe jetzt nochmal rumprobiert, aber ich verstehe es einfach nicht.
Könntest Du mir bitte einmal Schritt für Schritt erklären (für f1 und f2, die restlichen möchte ich gerne selbst lösen), wie man bei solchen systematisch Aufgaben vorgeht? Das ist das einzige Thema, was mir Kopfzerbrechen bereitet.
Vor allem das AUFSCHREIBEN ist enorm wichtig, hier wird sehr viel Wert drauf gelegt. Wie soll ich die einzelnen Schritte aufschreiben? Ich muss es nur einmal verstanden haben, dann mach ich es auch!
Vielen Dank im voraus!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:28 Do 20.02.2014 | | Autor: | chrisno |
> ... Ich habe jetzt nochmal rumprobiert, aber ich verstehe es
> einfach nicht.
S. u.
>
> Könntest Du mir bitte einmal Schritt für Schritt
> erklären (für f1 und f2, die restlichen möchte ich gerne
> selbst lösen), wie man bei solchen systematisch Aufgaben
> vorgeht? Das ist das einzige Thema, was mir Kopfzerbrechen
> bereitet.
>
> Vor allem das AUFSCHREIBEN ist enorm wichtig, hier wird
> sehr viel Wert drauf gelegt. Wie soll ich die einzelnen
> Schritte aufschreiben? Ich muss es nur einmal verstanden
> haben, dann mach ich es auch!
Nein, Du machst es hier im Wechselspiel, Schritt für Schritt.
[mm] $f_2(x) [/mm] = [mm] x^3-7x+2$
[/mm]
Also wendest Du die Dreiecksungleichung auf $ [mm] x^3-7x+2 [/mm] = [mm] x^3+(-7x)+2$ [/mm] an.
Vielleicht erst einmal oder direkt zweimal.
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Das gibt es einfach nicht, ich verstehe das nicht! :( ...liegt aber auch wahrscheinlich daran, dass ich es nicht ein einziges Mal von Grund auf beigebracht bekommen habe... so schwer kann das Thema doch nicht sein oder? Ich möchte das einfach verstehen!
Ok, dann schauen wir uns mal [m]f_2[/m] an:
Abschätzung nach oben (also [mm] \le [/mm] und möglichst "kleine Zahl" einsetzen?)
[m]f_2 (x): |x^3-7x+2| \le |x^3| + |7x| + 2 \le |x|^3 + 7|x| + 2 \le ???[/m]
Abschätzung nach unten (also [mm] \ge [/mm] und möglichst "große Zahl" einsetzen?)
[m]f_2 (x): |x^3-7x+2| \ge |x^3+2| - |7x| \ge |x|^3 + 2 - 7|x| \ge ??? [/m]
So, angenommen die oben aufgeführte Ungleich ist korrekt (?), was mache ich jetzt? Gibt es kein "Lösungs-Rezept"? Ich habe jetzt wirklich einfach aus dem "Bauch" raus die Sachen da aufgeschrieben und dann kann ja vermutlich auch nur Blödsinn rauskommen...
Gibt es Quellen, die ich mir zu dem Thema anschauen kann? Habe im Netz nach Abschätzungen geschaut, einfach nichts gefunden, was dieses "Thema" in einfacher und verständlicher Weise veranschaulicht.
Ich bin ja bereits alles zu geben, aber ich brauche wirklich nur einen Anhaltspunkt.
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Hallo,
> Das gibt es einfach nicht, ich verstehe das nicht! :(
> ...liegt aber auch wahrscheinlich daran, dass ich es nicht
> ein einziges Mal von Grund auf beigebracht bekommen habe...
> so schwer kann das Thema doch nicht sein oder? Ich möchte
> das einfach verstehen!
>
> Ok, dann schauen wir uns mal [m]f_2[/m] an:
>
> Abschätzung nach oben (also [mm]\le[/mm] und möglichst "kleine
> Zahl" einsetzen?)
> [m]f_2 (x): |x^3-7x+2| \le |x^3| + |7x| + 2 \le |x|^3 + 7|x| + 2 \le ???[/m]
Du nutzt hier die Dreiecksungleichung. Also relativ einfache Abschätzungen, oder hast du damit bereits Probleme? Dann gib Bescheid.
Allgemein solltest du eben wissen:
[mm] |a+b|\le|a|+|b|, [/mm] für [mm] a,b\in\IR
[/mm]
Es ist also insbesondere egal, ob a oder b negativ...
>
> Abschätzung nach unten (also [mm]\ge[/mm] und möglichst "große
> Zahl" einsetzen?)
> [m]f_2 (x): |x^3-7x+2| \ge |x^3+2| - |7x| \ge |x|^3 + 2 - 7|x| \ge ???[/m]
Hier knallts in der Kiste. Das stimmt nicht. Vergleiche z.B. x=-4 und x=-2.
Eine ganz ganz ganz simple Abschätzung ist folgende:
[mm] |a|\ge0, [/mm] für alle [mm] a\in\IR
[/mm]
Du kannst also ganz unbekümmert sagen: [mm] f_2(x)\ge0.
[/mm]
Nun musst du tatsächlich mal genauer hinschauen und überlegen, ob du denn nicht auch anders abschätzen kannst.
Nehmen wir mal [mm] g(x)=x^3-7x. [/mm] Dann wissen wir zunächst, dass g(x) stetig ist. Außerdem hat g(x) gewiss auch Nullstellen. Um genau zu sein: Drei Stück. Eine ist z.B. bei [mm] x=0\in[-5,3].
[/mm]
Nun gehört ein bisschen "Erfahrung". Auch [mm] f_2(x)=g(x)+2 [/mm] hat drei Nullstellen. Und siehe da. Alle drei liegen sogar in dem Intervall [-5,3].
Damit ist die untere Abschätzung tatsächlich [mm] f_2(x)\ge0.
[/mm]
So, wie findest du nun untere Abschätzungen. Eine Möglichkeit ist natürlich die Nullstellen zu berechnen und dann zu schauen, ob diese wirklich in dem Intervall liegen. Dann ist die untere Grenze klar. Weiter kannst du dir bei anderen Funktionen auch man die Extremstellen anschauen, um so einen Eindruck von der Funktion zu bekommen. Grenzwertbetrachtungen können auch hilfreich sein. Auch Polstellen und dergleichen sind nützlich.
>
> So, angenommen die oben aufgeführte Ungleich ist korrekt
> (?), was mache ich jetzt? Gibt es kein "Lösungs-Rezept"?
> Ich habe jetzt wirklich einfach aus dem "Bauch" raus die
> Sachen da aufgeschrieben und dann kann ja vermutlich auch
> nur Blödsinn rauskommen...
>
> Gibt es Quellen, die ich mir zu dem Thema anschauen kann?
> Habe im Netz nach Abschätzungen geschaut, einfach nichts
> gefunden, was dieses "Thema" in einfacher und
> verständlicher Weise veranschaulicht.
Nimm dir ein paar Funktionen und setze dir ein INtervall und versuche einfach mal abzuschätzen. Schau dir dann den Funktionsgraphen an und vergleiche, ob du genauso richtig eingeschätzt hast.
Eventuell kannst du mal im Heuser Band 1 reinschauen. Gleich auf den ersten Seiten gibt es meiner meinung nach auch noch einmal interessante Informationen. Aber bin mir nicht zu 100% sicher.
>
> Ich bin ja bereits alles zu geben, aber ich brauche
> wirklich nur einen Anhaltspunkt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:34 Sa 08.03.2014 | | Autor: | chrisno |
> Das gibt es einfach nicht, ich verstehe das nicht! :(
Das kommt schon, halt durch. Du bist auf dem richtigen Weg.
> ...liegt aber auch wahrscheinlich daran, dass ich es nicht
> ein einziges Mal von Grund auf beigebracht bekommen habe...
> so schwer kann das Thema doch nicht sein oder? Ich möchte
> das einfach verstehen!
s.o.
>
> Ok, dann schauen wir uns mal [m]f_2[/m] an:
>
> Abschätzung nach oben (also [mm]\le[/mm] und möglichst "kleine
> Zahl" einsetzen?)
> [m]f_2 (x): |x^3-7x+2| \le |x^3| + |7x| + 2 \le |x|^3 + 7|x| + 2 \le ???[/m]
Die Dreiecksungleichung hast Du richtig angewandt. Nun nimmst Du tatsächlich die Intervallgrenzen, also -5 und 3. Du musst sicherstellen, dass Du den "schlimmsten Fall" auch mit berücksichtigst. Gesucht wird eine Zahl, die garantiert größer oder gleich dem letzten Ausdruck ist, in dem noch das x vorkommt. Da aus jedem x, das Du da einsetzt, immer etwas positives gemacht wird, kannst Du das Minuszeichen vor der 5 weglassen. Nun setz ein: einmal 5 und einmal 3. Was ergibt den größeren Wert? Das ist die Abschätzung für die Obergrenze.
>
> Abschätzung nach unten (also [mm]\ge[/mm] und möglichst "große
> Zahl" einsetzen?)
> [m]f_2 (x): |x^3-7x+2| \ge |x^3+2| - |7x| \ge |x|^3 + 2 - 7|x| \ge ???[/m]
Nein.
So, wie ich das vermute, ist die Lage viel einfacher. Geh zurück zu der Abschätzung davor. Da hast Du den Betrag von [mm] $f_2$ [/mm] nach oben abgeschätzt. Damit weißt Du, dass [mm] $f_2$ [/mm] auf jeden Fall kleiner als 125 + 35 +2 = 162 ist. Nun nimm mal an, dass alle Beiträge in [mm] $f_2$ [/mm] negativ wären. Ganz klar, das stimmt für den +2 Term nicht, dennoch, nimm es an. Dann kannst Du ein Minuszeichen vor die Betragsstriche schreiben. Genauer: Du multiplizierst die ganze Ungleichungskette mit -1. Das dreht die Ungleichungszeichen um und Du bekommst:
[mm] $-|x^3-7x+2| \ge -|x^3| [/mm] - |7x| - 2 [mm] \ge -|x|^3 [/mm] - 7|x| - 2 [mm] \ge [/mm] -162$
Nun bin ich mir nicht sicher, ob die Abschätzung nicht ein klein wenig besser durchgeführt wird. Das entnehme ich aus Deiner Anmerkung zu [mm] $x^2$.
[/mm]
Die 2 durch -2 abzuschätzen ist nicht nötig. Da kann man +2 stehen lassen. So ergäbe sich -158 als Untergrenze.
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> So, angenommen die oben aufgeführte Ungleich ist korrekt
> (?), was mache ich jetzt? Gibt es kein "Lösungs-Rezept"?
Das ist nun praktisch da.
Abschätzung der Obergrenze: Solange die Dreiecksungleichung anwenden, bis alle x in Betragsstrichen stehen und dazwischen Pluszeichen. Von den Intervallgrenzen den Betrag bilden und den größeren Wert nehmen. In den letzten Term einsetzen. (Vielleicht sollten wir eine negative Konstante auch noch richtig berücksichtigen, so wie die positive Konstante bei der Untergrenze.)
Abschätzung der Untergrenze:
Nimm die Abschätzung für die Obergrenze und setz ein Minuszeichen davor. Schau, ob der Funktionsterm eine additive positive Konstante hat. Falls ja, addiere das doppelte zu dem eben bestimmten Wert.
> Ich habe jetzt wirklich einfach aus dem "Bauch" raus die
> Sachen da aufgeschrieben und dann kann ja vermutlich auch
> nur Blödsinn rauskommen...
>
> Gibt es Quellen, die ich mir zu dem Thema anschauen kann?
> Habe im Netz nach Abschätzungen geschaut, einfach nichts
> gefunden, was dieses "Thema" in einfacher und
> verständlicher Weise veranschaulicht.
Ich habe noch nie erlebt, das systematisch auf diese Art abgeschätzt wird. Daher rechne ich nicht damit, dass ich mehr finden würde als Du.
>
> Ich bin ja bereits alles zu geben, aber ich brauche
> wirklich nur einen Anhaltspunkt.
Schaun wir mal weiter...
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