Abschluss Graph < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 04:43 Mo 03.06.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Zeige [mm] \overline{G}= [/mm] G [mm] \cup (\{0\} \times [/mm] [-1,1])
wobei [mm] G:=\{(x,sin(1/x))| x \in ]0,1]\} [/mm] |
Hallo ;)
Schritt [mm] 1:\overline{G}\subset [/mm] G [mm] \cup (\{0\} \times [/mm] [-1,1])
Sei y [mm] \in \overline{G} [/mm] = G [mm] \cup [/mm] Häufungspunkte von G
-> y [mm] \in [/mm] G dann fertig
-> y [mm] \not\in [/mm] G ZZ.: y [mm] \in \{(0,y)| -1 \le y \le 1 \} \subseteq \IR^2
[/mm]
Da y [mm] \not\in [/mm] G folgt y Häufungspunkt in G, d.h. für alle U [mm] \in [/mm] U(y) gilt U [mm] \cap [/mm] (G [mm] \setminus [/mm] {y}) [mm] \not= \emptyset
[/mm]
Ich komme hier leider nicht weiter...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:15 Mo 03.06.2013 | | Autor: | Herbart |
Leider habe ich nicht viel Zeit, deshalb so kurz:
Du könntest evtl. zeigen, dass die Funktion [mm] f: \IR \to \IR^2 [/mm] mit [mm] x \to x \times sin(\bruch{1}{x})[/mm], deren Wertebereich ja gerade die Menge ist, für [mm]x\to 0 [/mm] alle Werte in [mm]x \times [-1,1] [/mm] annehmen kann, da der [mm]sin(\bruch{1}{x})[/mm] oszilliert und du damit in jeder noch so kleinen Umgebung um einen Punkt [mm]a \in x \times [-1,1] [/mm] auch einen Stück Graphen hast.
Das sind nur ein paar grobe Überlegungen auf die schnelle. Ich hoffe deshalb, dass ich hier keinen Humbug erzähle. Ich habe also die Frage auf unbeantwortet gelassen.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:24 Mo 03.06.2013 | | Autor: | sissile |
TUT mir leid, ich kann mit deinen Hinweisen leider nicht wirklich was anfangen.
Eine neue Idee wäre:
y [mm] \in \overline{G}= \{ y s.d. \exists Folge (y)_n \in G mit y_n -> y\}
[/mm]
-> y [mm] \in [/mm] G fertig
-> y [mm] \in \partial [/mm] G , ZZ y [mm] \in [/mm] H
Da y [mm] \in \overline{G} [/mm] -> exists [mm] (y_n)_{n\in \IN} \in [/mm] G mit [mm] y_n [/mm] -> y
[mm] y_n [/mm] = ( [mm] x_n, sin(1/x_n)) [/mm] wobei [mm] x_n \in [/mm] ]0,1]
Der Sinus ist beschränkt
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:37 Mo 03.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> TUT mir leid, ich kann mit deinen Hinweisen leider nicht
> wirklich was anfangen.
>
> Eine neue Idee wäre:
> y [mm]\in \overline{G}= \{ y s.d. \exists Folge (y)_n \in G mit y_n -> y\}[/mm]
>
> -> y [mm]\in[/mm] G fertig
> -> y [mm]\in \partial[/mm] G , ZZ y [mm]\in[/mm] H
> Da y [mm]\in \overline{G}[/mm] -> exists [mm](y_n)_{n\in \IN} \in[/mm] G mit
> [mm]y_n[/mm] -> y
> [mm]y_n[/mm] = ( [mm]x_n, sin(1/x_n))[/mm] wobei [mm]x_n \in[/mm] ]0,1]
>
> Der Sinus ist beschränkt
> lg
Geh doch ganz systematisch vor:
Sei (x,y) [mm] \in \overline{G}. [/mm] Dann gibt es eine Folge [mm] ((x_n,y_n)) [/mm] in G mit
[mm] x_n \to [/mm] x und [mm] y_n \to [/mm] y.
Dann haben wir x [mm] \in [/mm] [0,1] und, wegen [mm] y_n=sin(1/x_n), [/mm] ist y [mm] \in [/mm] [-1,1]
Fall 1: x=0. Dann ist (x,y) [mm] \in \{0\} \times [/mm] [-1,1]
Fall 2: x [mm] \in [/mm] (0,1]. Da der sinus stetig ist, haben wir
[mm] y_n \to [/mm] sin(1/x).
Somit ist y=sin(1/x). Daher:
(x,y)=(x,sin(1/x)) [mm] \in [/mm] G.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Mo 03.06.2013 | | Autor: | sissile |
Vielen vielen dank,
Mir fehlt nun noch:
Schritt 2:$ [mm] 1:\overline{G}\supset$ [/mm] G $ [mm] \cup (\{0\} \times [/mm] $ [-1,1])
Ich denke dafür ist diese Definition geeignet: x [mm] \in \overline{G} [/mm] <=> [mm] \forall \epsilon>0 U_\epsilon [/mm] (x) [mm] \cap [/mm] G [mm] \not= \emptyset.
[/mm]
Ich hab mir den Graph x->sin(1/x) plotten lassen. Hier sieht man dass $G [mm] \cup \{(0,0)\} \subset \overline{G} [/mm] $
Aber wie sieht eine saubere Begründung zu: $ G [mm] \cup \{(0,y):\;y \in [-1,1]\}) \subset \overline{G} [/mm] $ aus?
Vlt. kannst du mir da nochmals auf die Sprünge helfen,
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:30 Di 04.06.2013 | | Autor: | hippias |
[mm] $G\subseteq \bar{G}$ [/mm] sollte klar sein. Betrachte den Spezialfall $(0,1)$. Da [mm] $\sin (\frac{\pi}{2}+ 2n\pi)= [/mm] 1$ fuer alle [mm] $n\in \IN$ [/mm] gilt, ist [mm] $((\frac{1}{\frac{\pi}{2}+ 2n\pi}, 1))_{n\in \IN}$ [/mm] eine Folge in $G$, die sauber gegen $(0,1)$ konvergiert. Versuche das auf beliebiges $(0,y)$ zu verallgemeinern.
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