Abschluss, Metrik etc. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:12 Do 31.07.2014 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Seien (X,d), (Y, d') metrische Räume und sei f: X [mm] \to [/mm] Y stetig.
a) Seien K,L nicht leere, disjunkte Teilmengen von X. Zeige: Ist K kompakt und L abgeschlossen in X, so ist:
inf{d(x,y)|x [mm] \in [/mm] K, y [mm] \in [/mm] L}>0.
b) Zeige, dass für beliebige Mengen A [mm] \subset [/mm] X, B [mm] \subset [/mm] Y gilt:
[mm] f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)} [/mm] und [mm] \overline{f^-1(B)} \subset f^-1(\overline{B}) [/mm] |
Hallo,
meine Ideen:
zu a) d(K,L)=inf d(L, x) mit x [mm] \in [/mm] K. Da d(x,L) stetig und K kompakt ist, ist wird das Minimum in K angenommen. Bezeichne dieses mit z, dann ist z [mm] \not\in [/mm] L (Disjunktheit). Da L abgeschlossen ist, gibt es eine Umgebung von z, sodass A [mm] \cap [/mm] U(z)= [mm] \emptyset. [/mm] Hier komme ich nicht mehr weiter...
zu b)
Da f stetig und [mm] \overline{A} [/mm] abgeschlossen ist, ist [mm] f^-1(f(\overline{A})) [/mm] abgeschlossen. Außerdem ist A [mm] \subset \overline{A}, [/mm] d.h. f^-1 (f(A)) [mm] \subset f^-1(f(\overline{A})) [/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:27 Do 31.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Seien (X,d), (Y, d') metrische Räume und sei f: X [mm]\to[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Y
> stetig.
>
> a) Seien K,L nicht leere, disjunkte Teilmengen von X.
> Zeige: Ist K kompakt und L abgeschlossen in X, so ist:
> inf{d(x,y)|x [mm]\in[/mm] K, y [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
L}>0.
>
> b) Zeige, dass für beliebige Mengen A [mm]\subset[/mm] X, B [mm]\subset[/mm]
> Y gilt:
>
> [mm]f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}[/mm] und
> [mm]\overline{f^-1(B)} \subset f^-1(\overline{B})[/mm]
> Hallo,
>
> meine Ideen:
>
> zu a) d(K,L)=inf d(L, x) mit x [mm]\in[/mm] K. Da d(x,L) stetig und
> K kompakt ist, ist wird das Minimum in K angenommen.
> Bezeichne dieses mit z, dann ist z [mm]\not\in[/mm] L
> (Disjunktheit). Da L abgeschlossen ist, gibt es eine
> Umgebung von z, sodass A [mm]\cap[/mm] U(z)= [mm]\emptyset.[/mm] Hier komme
> ich nicht mehr weiter...
das ist eigentlich ein schöner Anfang, kannst Du das denn auch beweisen?
Ich bin mir auch nicht sicher, ob Du die stetige Funktion vielleicht auf einem
anderen Definitionsbereich definieren solltest. Aber das will ich jetzt gar
nicht groß durchdenken/durchprobieren, ich biete Dir eine andere
Möglichkeit an:
Wir nehmen an, dass [mm] $K\,$ [/mm] kompakt, [mm] $L\,$ [/mm] abgeschlossen, aber obiges Infimum ist 0.
Sei also [mm] $K\,$ [/mm] kompakt und [mm] $L\,$ [/mm] abgeschlossen. Per Definitionem folgt aus [mm] $0=\inf\{d(x,y)|x \in K, y \in L\}$
[/mm]
die Existenz einer Folge von [mm] $(x_n,y_n) \in [/mm] K [mm] \times [/mm] L$ mit [mm] $d(x_n,y_n) \to 0\,.$ [/mm] Weil
[mm] $K\,$ [/mm] kompakt ist, hat [mm] $(x_n)_n$ [/mm] eine in [mm] $K\,$ [/mm] konvergente Teilfolge. Sei also [mm] $(x_{n_k})_k$ [/mm] eine
solche, die gegen [mm] $x_0 \in [/mm] K$ konvergiere.
Aus [mm] $d(x_n,y_n) \to [/mm] 0$ ($n [mm] \to \infty$) [/mm] folgt insbesondere [mm] $d(x_{n_k},y_{n_k}) \to [/mm] 0$ ($k [mm] \to \infty$). [/mm] Wegen
[mm] $d(y_{n_k},x_0) \le d(y_{n_k},x_{n_k})+d(x_{n_k},x_0)$
[/mm]
folgt dann bei $k [mm] \to \infty$ [/mm] aber was?
[mm] $(y_n)_n$ [/mm] ist also eine Folge in [mm] $L\,,$ [/mm] die eine (in [mm] $X\,$) [/mm] konvergente Teilfolge hat. Diese
Teilfolge ist aber auch eine Folge in [mm] $L\,,$ [/mm] und folglich gehört deren Grenzwert
zu ???
Wir erhalten also
[mm] $x_0 \in [/mm] K [mm] \cap [/mm] ...$ ??
Somit sind [mm] $K\,$ [/mm] und [mm] $L\,$ [/mm] aber nicht ...junkt... .
Gruß,
Marcel
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