Abschluss von Mengen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:23 Mi 29.12.2010 | | Autor: | Clang |
| Aufgabe | Beweisen Sie:
Für eine Menge M bezeichne man mit [mm] \overline{M} [/mm] (sog. Abschluss von M) die Vereinigung von M mit der Menge ihrer Häufungspunkte. Für jede Menge M gilt:
[mm] \overline{M} [/mm] = [mm] \bigcap_{M \subset A}^{} [/mm] {A ist abgeschlossen}
d.h. [mm] \overline{M} [/mm] lässt sich als Durchschnitt aller abgeschlossenen Mengen, die M enthalten, darstellen. |
Vorweg: Sicher passt das woanders besser hin als zu Analysis, aber tatsächlich steht diese Aufgabe auf einem HA-Blatt in Analysis I.
Die erste Inklusion war kein Problem.
Jetzt sitze seit einiger Zeit daran,
[mm] \overline{M} \supseteq \bigcap_{M \subset A}^{} [/mm] {A ist abgeschlossen}
zu beweisen und hänge sozusagen beim allerletzten Schritt, der so groß eigentlich nicht sein kann.
Bisher hab ich Folgendes gemacht:
[mm] \overline{M} \supseteq \bigcap_{M \subset A}^{} [/mm] {A ist abgeschlossen} [mm] \gdw [/mm] Es gibt ein A mit A [mm] \subseteq \overline{M}.
[/mm]
Dieses A ist aber schon durch [mm] \overline{M} [/mm] gegeben, denn es gilt:
[mm] \overline{M} \subseteq \overline{M} [/mm] (klar), M [mm] \subseteq \overline{M} [/mm] (per Definition), sowie [mm] \overline{M} [/mm] ist abgeschlossen (trivialerweise)
Das letzte habe ich durchgestrichen, weil es doch eigentlich gar nicht trivial ist, oder? Es könnte doch einen Häufungspunkt der Menge aller Häufungspunkte von M geben, der nicht in der Menge der Häufungspunkte von M und auch nicht in M enthalten ist.
Anders gefragt: Wie zeige ich allein aus der Definition mit der Vereinigung oben, dass der Abschluss einer Menge abgeschlossen ist?
Bestimmt gibt es noch ganz andere Wege, aber irgendwie fand ich diesen sehr schön und hoffe, dass er zu was führt...
Freue mich über Ideen :)
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt ;)
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Huhu,
> Bisher hab ich Folgendes gemacht:
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> [mm]\overline{M} \supseteq \bigcap_{M \subset A}^{}[/mm] {A ist
> abgeschlossen} [mm]\gdw[/mm] Es gibt ein A mit A [mm]\subseteq \overline{M}.[/mm]
>
> Dieses A ist aber schon durch [mm]\overline{M}[/mm] gegeben
Ok, das ist soweit klar, darum hab ich den Rest mal weggenommen 
> Anders gefragt: Wie zeige ich allein aus der Definition
> mit der Vereinigung oben, dass der Abschluss einer Menge
> abgeschlossen ist?
Na wie habt ihr denn definiert, wann eine Menge abgeschlossen ist?
Es ginge ja mit:
1.) Der Grenzwert einer konvergenten Folge ist ebenfalls in der Menge
2.) Das Komplement ist offen
Beides ginge hier zu zeigen, ich würde aber ersteres bevorzugen.
Nehmen wir uns nun also mal eine konvergente Folge [mm] $(x_n) \subset \overline{M}$ [/mm] mit [mm] $x_n \to [/mm] x$.
z.z. ist nun $x [mm] \in \overline{M}$
[/mm]
Ich würde damit anfangen zu zeigen, dass es ausreicht [mm] $(x_n) \subset [/mm] M$ zu betrachten und dann ergibt sich [mm] $x\in \overline{M}$ [/mm] eigentlich von selbst.
Schwer ist das eigentlich nicht, aber du hast durchaus recht, dass es trivial auch nicht ist, sondern es erstmal (ein wenig technisch) gezeigt werden muss.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:58 Mi 29.12.2010 | | Autor: | Clang |
Danke für die Antwort!
Leider haben wir weder 1.) noch 2.) als Definition für Abgeschlossenheit von Mengen, sondern nur Folgendes:
Eine Menge M heißt abgeschlossen, wenn jeder Häufungspunkt von M zu M gehört.
Jemand eine Idee, wie es damit geht?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 Mi 29.12.2010 | | Autor: | Clang |
Danke für die Antwort!
Leider haben wir weder 1.) noch 2.) als Definition für Abgeschlossenheit von Mengen, sondern nur Folgendes:
Eine Menge M heißt abgeschlossen, wenn jeder Häufungspunkt von M zu M gehört.
Jemand eine Idee, wie es damit geht?
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Huhu Clang,
dann hast du doch gar kein Problem?
Dann gilt doch trivialerweise, dass [mm] \overline{M} [/mm] abgeschlossen ist, weil es doch gerade so definiert ist, dass [mm] \overline{M} [/mm] alle Häufungspunkte von [mm] \overline{M} [/mm] enthält und damit abgeschlossen ist und somit gilt:
[mm] \bigcap_{M \subset A, A \text{ abgeschlossen}} [/mm] A [mm] \subset \overline{M} [/mm] da $M [mm] \subset \overline{M},\overline{M}$ [/mm] abgeschlossen.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:45 So 02.01.2011 | | Autor: | Clang |
Das dachte ich mir auch zuerst, aber dann kam ich ins Grübeln.
Es ist ja nur so definiert, dass [mm] \overline{M} [/mm] alle Häufungspunkte von M enthält, aber nicht unbedingt auch alle von [mm] \overline{M}.
[/mm]
Es könnte doch auch einen Häufungspunkt von [mm] \overline{M} [/mm] geben, der nicht Häufungspunkt von M und damit auch nicht zwangsläufig Element von [mm] \overline{M} [/mm] ist, oder?
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Huhu,
> Das dachte ich mir auch zuerst, aber dann kam ich ins
> Grübeln.
das ist schonmal gut 
> Es ist ja nur so definiert, dass [mm]\overline{M}[/mm] alle
> Häufungspunkte von M enthält, aber nicht unbedingt auch
> alle von [mm]\overline{M}.[/mm]
Korrekt.
> Es könnte doch auch einen Häufungspunkt von [mm]\overline{M}[/mm]
> geben, der nicht Häufungspunkt von M und damit auch nicht
> zwangsläufig Element von [mm]\overline{M}[/mm] ist, oder?
Nein, kann es nicht.
Und eigentlich ist es auch ein Zweizeiler, man muss es sich nur mal klarmachen
Du kannst zeigen: Sei m' ein HP von [mm] \overline{M}, [/mm] so folgt m' ist HP von M.
Eigentlich ist es nur hinschreiben der Definition und verwenden, dass jedes [mm] $m\in\overline{M}$ [/mm] ein HP von M ist.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:55 Do 06.01.2011 | | Autor: | Clang |
Vielen Dank, jetzt hab ich's! :)
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