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| Aufgabe | Absolute Betrag
Eigenschaft |a+b| ≤ |a| + |b| ist zu zeigen...Hab ich gemacht!
Wann gilt Gleichheit? |
Hallo zusammen!
Ia ≤ |a|
IIb ≤ |b|
Da betrag einer Zahl größer ist - als die Zahl - wenn sie negativ ist
Genauso
III-a ≤ |a|
IV-b ≤ |b|
I + II=
a + b ≤ |a| + |b|
III+IV=
-(a + b) ≤ |a| + |b|
Es folgt |a+b| ≤ |a| + |b|
Kann man das auch mit einem Zahlenbeispiel zeigen? (nur zur verständnis!)
Wann gilt Gleichheit? Wenn a und b [mm] \ge [/mm] 0 ??
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:08 Mi 19.10.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> Absolute Betrag
> Eigenschaft |a+b| ≤ |a| + |b| ist zu zeigen...Hab ich
> gemacht!
> Wann gilt Gleichheit?
> Hallo zusammen!
>
> Ia ≤ |a|
> IIb ≤ |b|
>
> Da betrag einer Zahl größer ist - als die Zahl - wenn sie
> negativ ist
>
> Genauso
> III-a ≤ |a|
> IV-b ≤ |b|
>
> I + II=
> a + b ≤ |a| + |b|
>
> III+IV=
> -(a + b) ≤ |a| + |b|
>
> Es folgt |a+b| ≤ |a| + |b|
genau, es ist [mm]|a+b|=max\left \{a+b; -(a+b)\right \}\le{|a|+|b|} [/mm]
> Kann man das auch mit einem Zahlenbeispiel zeigen? (nur
> zur verständnis!)
setze einfach mal konkrete Zahlen ein. Z.B. a=-4,b=2
[mm]|-4+2|\le{|-4|+|2|}[/mm]
> Wann gilt Gleichheit? Wenn a und b [mm]\ge[/mm] 0 ??
Was ist denn zum Beispiel mit a=-4, b=-2?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
barsch
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na dann wenn beide zahlen größer gleich 0 sind oder beide zahlen kleiner als 0.
Wie schreibe ich das mathematisch korrekt an? Und muss ich das beweisen?, Wenn ja wie?
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Hallo theresetom,
> na dann wenn beide zahlen größer gleich 0 sind oder beide
> zahlen kleiner als 0.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") So ist es.
> Wie schreibe ich das mathematisch korrekt an?
Du schreibst es so auf: [mm] ab\ge0
[/mm]
> Und muss ich
> das beweisen?, Wenn ja wie?
Probiers mal mit einer Fallunterscheidung.
Da die Ungleichung in a,b symmetrisch ist, genügen vier Fälle:
1) [mm] a<0,\quad b\le0 [/mm]
2) [mm] a=0,\quad b=0 [/mm]
3) [mm] a\ge0,\quad b>0 [/mm]
4) [mm] a<0,\quad b>0 [/mm]
Es geht aber auch viel kürzer. Du könntest einfach ![[]](/images/popup.gif) abschreiben.
Grüße
reverend
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Bei Wiki versteh ich nicht genau, was dass mit der Gleichheit zu tun hat!
Fall 1)
Gilt Gleichheit
|a| = - a
|b| = - b (bzw. 0)
|a + b | = - (a + b)
Angenommen |b + a| = |a| + |b|
-(a+b)= -a + -b
-a-b = -a-b
bei b =0
|b| = 0
|b + a| = |a| + |b|
-a+0= -a + 0
-a = -a
Ist dass verständlich?? Oder mache ich da gerade Unsinn^^!?
2) a= 0, b = 0
|a| = 0
|b| = 0
|a+b| = 0
|a+b| = |a| + |b|
|0+0| = |0| + |0|
0=0
Fall 3)
|a| = a (bzw. 0)
|b| = b
|a+b| = a + b
|a+b| = |a| + |b|
a+b = a+b
bei |a| = 0
|a + b| = 0 + b
0+ b = 0 + b
b = b
4)
|a| = - a
|b| = b
| a + b| = ???
Kannst du mir da helfen=?
Frage: Macht man das hier genauso(mit selben fallunterscheidungen)? Also nur statt + dazwischen ein * und halt multiplizieren?
|x * y| = |x| * |y|
[mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] K
K = [mm] \IR [/mm]
Beweisen mit fallunterscheidung
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:33 Do 20.10.2011 | | Autor: | fred97 |
$|a+b| = |a| + |b| [mm] \gdw (a+b)^2 [/mm] = (|a| + [mm] |b|)^2 \gdw [/mm] ab=|ab|$
FRED
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das versteh ich jetzt nicht.
Aber beim vierten fall müsste doch keine äquivalenz rauskommen!!
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Hallo theresetom,
> das versteh ich jetzt nicht.
> Aber beim vierten fall müsste doch keine äquivalenz
> rauskommen!!
Tut es ja auch nicht, in dem 4.Fall ist $ab$ negativ und $|ab|$ positiv.
Also gilt in diesem Fall gem. der Äquivalenz in Freds post auch nicht $|a+b|=|a|+|b|$
Gruß
schachuzipus
>
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Also nochmal langsam. Wir sind außerdem bei + nicht mal.
a<0 b>0
|a| = -a
|b| = b
|a+b|=
ein beispiel, dass ich mir es vorstellen kann
|-3 + 2| = |-1| = 1
|-2 + 3| = |1| = 1
also ist |a+b| einfach = a + b , ne dass kann ja nicht sein. weil sonst könnte es ja wie in meinen Beispiel - 1 rauskommen und das wäre nicht der betrag!
|a + b| [mm] \le [/mm] |a| + |b|
???? [mm] \le [/mm] -a + b
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Hallo nochmal,
> Also nochmal langsam. Wir sind außerdem bei + nicht mal.
Da sind wir alle!
Fred hat dir doch die Äquivalenz hingeschrieben.
Es ist $|a+b|=|a|+|b| \ [mm] \gdw [/mm] \ ab=|ab|$
Prüfe also, in welchen Fällen $ab=|ab|$ ist und es folgt (von rechts nach links $|a+b|=|a|+|b|$)
> a<0 b>0
> |a| = -a
> |b| = b
>
> |a+b|=
> ein beispiel, dass ich mir es vorstellen kann
> |-3 + 2| = |-1| = 1
> |-2 + 3| = |1| = 1
>
> also ist |a+b| einfach = a + b , ne dass kann ja nicht
> sein. weil sonst könnte es ja wie in meinen Beispiel - 1
> rauskommen und das wäre nicht der betrag!
>
> |a + b| [mm]\le[/mm] |a| + |b|
> ???? [mm]\le[/mm] -a + b
Hää?
Wie erwähnt ist in diesem Falle $ab<0$ und $|ab|>0$, also kann nicht $|a+b|=|a|+|b|$ sein ...
Gruß
schachuzipus
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Du gehst nicht ganz auf meine Frage ein. Oder ich versteh es einfach nicht..Manno!!
also ich möchtezeigen, dass beim 4Fall nicht äquivalenz gilt. und möchte dass ja eigentlich genauso beweisen wie ich die anderen 3 Fälle bewiesen hab! Kann ich das jetzt nicht auch so mit dem 4 fall machen, nur dass man halt zeigt, dass keine äuivalenz gilt>?
Entschuldige, dass ich es nicht verstehe OooO.
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Hallo nochmal,
> Du gehst nicht ganz auf meine Frage ein. Oder ich versteh
> es einfach nicht..Manno!!
>
> also ich möchtezeigen, dass beim 4Fall nicht äquivalenz
> gilt. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Natürlich gilt die Äquivalenz auch im 4.Fall:
Es ist doch [mm]p\gdw q[/mm] gleichwertig mit [mm]\neg p\gdw\neg q[/mm]
Also [mm]|a+b|\neq|a|+|b| \ \gdw \ ab\neq|ab|[/mm]
> und möchte dass ja eigentlich genauso beweisen wie
> ich die anderen 3 Fälle bewiesen hab! Kann ich das jetzt
> nicht auch so mit dem 4 fall machen, nur dass man halt
> zeigt, dass keine äuivalenz gilt>?
>
> Entschuldige, dass ich es nicht verstehe OooO.
na, aus der Tatsache, dass im 4.Fall, also mit [mm]a<0, b>0[/mm], die rechte Seite der Äquivalenz, also [mm]ab=|ab|[/mm] nicht gilt, so kann auch die andere linke Seite, also [mm]|a+b|=|a|+|b|[/mm] nicht gelten, da gibt's nix mehr zu zeigen.
Dein Bsp. unterstreicht das ja.
Mit [mm]a=-1[/mm], [mm]b=2[/mm] ist [mm]|a+b|=|-1+2|=|1|=1\neq 3=|-1|+|2|=|a|+|b|[/mm]
Also kann auch nicht [mm]ab=|ab|[/mm] gelten: (und umgekehrt)
[mm]ab=(-1)\cdot{}2=-2\neq 2=|(-1)\cdot{}2|=|-2|[/mm]
Nun klar?
Es ist [mm]ab=|ab|[/mm] in drei Fällen gültig:
1) [mm]a,b>0[/mm]
2) [mm]a,b<0[/mm]
3) [mm]ab=0[/mm], also [mm]a=0[/mm] oder [mm]b=0[/mm]
Für diese Fälle folgt mit der Äquivlenz direkt [mm]|a+b|=|a|+|b|[/mm]
Treten [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] "gemischt" auf, so ist [mm]ab\neq|ab|[/mm], also auch [mm]|a+b|\neq|a|+|b|[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Ich muss ehrlich sein, wirklich verstanden habe ich es nicht.
was soll ich denn jetzt mal aufschreiben für den 4 Fall?
Zu zeigen , dass $|a + b| [mm] \neq [/mm] |a| + |b|$
$|a| = -a$
$|b| = b$
$ [mm] ab\neq|ab| [/mm] $ muss ich mal zeigen?
wie zeige ich dass allgemein?
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Hallo nochmal,
> Ich muss ehrlich sein, wirklich verstanden habe ich es
> nicht.
>
> was soll ich denn jetzt mal aufschreiben für den 4 Fall?
> Zu zeigen , dass [mm]|a + b| \neq |a| + |b|[/mm]
> [mm]|a| = -a[/mm]
> [mm]|b| = b[/mm]
>
> [mm]ab\neq|ab|[/mm] muss ich mal zeigen?
Genau das zeige, denn gilt die rechte Seite der Äquivalenz nicht, so natürlich auch die linke Seite nicht.
> wie zeige ich dass allgemein?
Das hatten wir doch schon dutzendfach.
Mit $a<0, b>0$ ist $ab<0$ (- "mal" + gibt -)
Und es ist $|ab|>0$ klar, oder?
Also ist [mm] $ab\neq|ab|$ [/mm]
Folglich auch [mm] $|a+b|\neq [/mm] |a|+|b|$
Gruß
schachuzipus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:34 Do 20.10.2011 | | Autor: | theresetom |
Supa deine letzte Antwort habe ich verstanden.
Mir ist es zwar schon peinlich noch einmal was zu fragen dazu - aber ich bin ja anonym im internet ;))^^
Warum kann man jetzt von $ ab [mm] \neq [/mm] |a*b|$ auf $ |a+b| [mm] \neq [/mm] |a| + |b| $schliesen?
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> Warum kann man jetzt von [mm]ab \neq |a*b|[/mm] auf [mm]|a+b| \neq |a| + |b| [/mm]schliesen?
Hallo,
hast Du Freds Beitrag richtig durchgelesen und durchdacht?
Gruß v. Angela
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Hallo nochmal,
> Supa deine letzte Antwort habe ich verstanden.
> Mir ist es zwar schon peinlich noch einmal was zu fragen
> dazu - aber ich bin ja anonym im internet ;))^^
>
> Warum kann man jetzt von [mm]ab \neq |a*b|[/mm] auf [mm]|a+b| \neq |a| + |b| [/mm]schliesen?
Auch das hatte ich schon mehfach erwähnt, aber gut, nochmal:
Gem. der Äquivalenz in Freds post oben gilt:
[mm]|a+b|=|a|+|b| \ \gdw \ ab=|ab|[/mm]
Also gilt insbesondere die Richtung von links nach rechts:
[mm]|a+b|=|a|+|b| \ \Rightarrow \ ab=|ab| \ \ \ \ (\star)[/mm]
Nun kennst du sicher die Kontraposition:
Es ist [mm]p\Rightarrow q \ \equiv \ \neg q\Rightarrow \neg p[/mm]
Also ist [mm](\star)[/mm] gleichwertig mit [mm]\neg(ab=|ab|)\Rightarrow \neg(|a+b|=|a|+|b|)[/mm], was nix anderes ist als
[mm]ab\neq |ab| \ \Rightarrow \ |a+b|\neq |a|+|b|[/mm]
Gruß
schachuzipus
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