Absolute Konvergenz Produkt < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:46 Mo 13.01.2014 | | Autor: | Pauli85 |
| Aufgabe | Man zeige die absolute Konvergenz sowie den Wert des folgenden unendlichen Produkts:
[mm] \produkt_{n=1}^{\infty} e^\bruch{1}{n^2} [/mm] |
Hallo,
den Wert des unendlichen Produkts habe ich schon rausbekommen (mittels Cauchy'schen Produktsatz), und zwar ist dieser:
[mm] \produkt_{n=1}^{\infty} e^\bruch{1}{n^2} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k!}(\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2})^k [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k!}(\bruch{\pi^2}{6})^k [/mm] = [mm] e^\bruch{\pi^2}{6}
[/mm]
Die absolute Konvergenz folgt damit noch nicht, oder doch?
Für die absolute Konvergenz müsste ich dann zeigen, dass gilt:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} |e^\bruch{1}{n^2} [/mm] - 1| < [mm] \infty
[/mm]
Hierfür habe ich aber leider keinen Ansatz. Könnte mir hier jemand einen Tipp geben?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:05 Mo 13.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Man zeige die absolute Konvergenz sowie den Wert der
> folgenden unendlichen Reihe:
> [mm]\produkt_{n=1}^{\infty} e^\bruch{1}{n^2}[/mm]
Es geht also um [mm]\sum_{n=1}^{\infty} e^\bruch{1}{n^2}[/mm]
Wenn ja, so ist diese Reihe divergent ! Denn ( [mm] e^\bruch{1}{n^2}) [/mm] ist keine Nullfolge !
Oder ist doch [mm]\produkt_{n=1}^{\infty} e^\bruch{1}{n^2}[/mm], also ein unendliches Produkt, gemeint ?
Also: worum geht es ???
FRED
> Hallo,
>
> den Wert der unendlichen Reihe habe ich schon rausbekommen
> (mittels Cauchy'schen Produktsatz), und zwar ist dieser:
> [mm]\produkt_{n=1}^{\infty} e^\bruch{1}{n^2}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k!}(\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2})^k[/mm]
> = [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k!}(\bruch{\pi^2}{6})^k[/mm] =
> [mm]e^\bruch{\pi^2}{6}[/mm]
> Die absolute Konvergenz folgt damit noch nicht, oder doch?
> Für die absolute Konvergenz müsste ich dann zeigen, dass
> gilt:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} |e^\bruch{1}{n^2}[/mm] - 1| < [mm]\infty[/mm]
> Hierfür habe ich aber leider keinen Ansatz. Könnte mir
> hier jemand einen Tipp geben?
>
> Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 Mo 13.01.2014 | | Autor: | Pauli85 |
Sorry! Da hatte ich mich vertan, es soll natürlich unendliches Produkt heißen.
Aber mir ist gerade die Lösung eingefallen.
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}|a_n| [/mm] < [mm] \infty [/mm] ist ja äquivalent zu [mm] \summe_{n=k}^{\infty}Log(1+a_n) [/mm] < [mm] \infty [/mm] für ein k [mm] \in \IN [/mm] und eine Nullfolge [mm] a_n.
[/mm]
Und daraus ergibt sich dann ja [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^2} [/mm] < [mm] \infty.
[/mm]
Also entschuldige die Verwirrung.
Grüße
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Hallo,
du solltest mal etwas strukturierter aufschreiben, damit man mal direkt siehst, was du meinst ...
Es ist doch [mm]\prod\limits_{n\ge 1}e^{1/n^2} \ = \ e^{\sum\limits_{n\ge 1}\frac{1}{n^2}} \ = \ e^{\frac{\pi^2}{6}}[/mm]
Dass die Summe [mm]\sum\limits_{n\ge 1}\frac{1}{n^2}[/mm] den Wert [mm]\frac{\pi^2}{6}[/mm] hat, ist nicht allzu unbekannt ...
Weißt du das? Sonst musst du es dir überlegen 
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:23 Mo 13.01.2014 | | Autor: | Pauli85 |
Ja klar weiß ich dies, steht ja in meinem ersten Post Ich habe nur die Exponentialfunktion als Reihe geschrieben.
Die Frage hatte sich auch mit meinem 2. Post erledigt, dort habe ich ja angegeben, wie man die absolute Konvergenz zeigen kann.
Ich war mir eigentlich sicher, dass ich mein 2. Post nicht als Frage, sondern als Mittteilung verfasst habe. Anscheid war das wohl nicht der Fall... Jedenfalls sollte dies eine Mittteilung sein, dass ich die absolte Konvergenz nun doch selbst gezeigt habe und sich die Frage erledigt hat.
Entschuldige bitte die daraus entstandene Verwirrung!
Grüße
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