Absolute Konvergenz Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:03 Mo 07.12.2015 | | Autor: | Piba |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Reihe [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{3n}x^{4n}}{(5n)!} [/mm] absolut konvergiert. |
Hallo ich bin soweit gekommen geht das?
[mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{3n}x^{4n}}{(5n)!} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{\infty} |\bruch{(-1)^{3n}x^{4n}}{(5n)!}| [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{1^{3n}x^{4n}}{(5n)!} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{x^{4n}}{(5n)!}. [/mm] Reicht es ab hier mit dem Quotientenkriterium weiter zu machen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Piba und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Zeigen Sie, dass die Reihe [mm]\summe_{\red{i=0}}^{\infty} \bruch{(-1)^{3n}x^{4n}}{(5n)!}[/mm]
Aufpassen! Hier und im Weiteren muss der Summationsindex natürlich [mm]\red n[/mm] sein ...
> absolut konvergiert.
> Hallo ich bin soweit gekommen geht das?
>
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{3n}x^{4n}}{(5n)!}[/mm] =
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty} |\bruch{(-1)^{3n}x^{4n}}{(5n)!}|[/mm] =
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{1^{3n}x^{4n}}{(5n)!}[/mm] =
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{x^{4n}}{(5n)!}.[/mm] Reicht es ab
> hier mit dem Quotientenkriterium weiter zu machen?
Ja, das kannst du machen - oder du verwendest direkt ein Konvergenzkriterium für Potenzreihen, denn deine gegebene Reihe ist ja eine Potenzreihe
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 Mo 07.12.2015 | | Autor: | Piba |
Danke für die schnelle Antwort und den Hinweis zu dem Laufindex, muss natürlich mit $n = 0$ beginnen.
Reicht das auch hier einfach nur mit der Konvergenz für Potenzreihen zu argumentieren, also zu sagen [mm] $\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{4n}}{(5n)!}$ [/mm] konvergiert da Potenzreihe,
oder muss ich [mm] $\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{4n}}{(5n)!}$ [/mm] auch auf die Form: [mm] $\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^n}{n!}$ [/mm] bringen?
Ich bin mir oft unsicher ab wann man aufhören kann, und einfach sagen kann "Es konvergiert jetzt".
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:16 Mo 07.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> Danke für die schnelle Antwort und den Hinweis zu dem
> Laufindex, muss natürlich mit [mm]n = 0[/mm] beginnen.
>
> Reicht das auch hier einfach nur mit der Konvergenz für
> Potenzreihen zu argumentieren, also zu sagen
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{4n}}{(5n)!}[/mm] konvergiert da
> Potenzreihe,
Natürlich reicht das nicht ! Eine Potenzreihe muss nicht in jedem x [mm] \in \IR [/mm] konvergieren !!
>
> oder muss ich [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{4n}}{(5n)!}[/mm]
> auch auf die Form: [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^n}{n!}[/mm]
> bringen?
Das wird Dir nicht gelingen !
Bestimme mit dem Quotientenkriterium alle x für die
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{4n}}{(5n)!}
[/mm]
absolut konvergiert
FRED
>
> Ich bin mir oft unsicher ab wann man aufhören kann, und
> einfach sagen kann "Es konvergiert jetzt".
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 Mo 07.12.2015 | | Autor: | Piba |
Ok, das bringt mich schon mal weiter. Ich habe mit dem Quotientenkriterium folgendes rausbekommen:
[mm] $\bruch{\bruch{x^{4(n+1)}}{(5(n+1))!}}{\bruch{x^{4n}}{(5n)!}} [/mm] = [mm] \bruch{x^{4n+4}*(5n)!}{(5n+5)!*x^{4n}} [/mm] = [mm] \bruch{x^{4n}*x^4*(5n)!}{(5n+5)!*x^{4n}} [/mm] = [mm] \bruch{x^4*(5n)!}{(5n+5)!}$ [/mm] ab hier bin ich mir unsicher mit dem ausklammern der Fakultät. Ich würde tippen aus dem Ausdruck [mm] $\bruch{x^4*(5n)!}{(5n+5)!}$ [/mm] den zu machen: [mm] $\bruch{x^4}{(5n+5)}$ [/mm] aber ich glaube im Nenner fehlt was.
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Hallo Piba!
Wende die Definition der Fakultät an.
Damit gilt:
$(5n+5)! \ = \ (5n)!*(5n+1)*(5n+2)*(5n+3)*(5n+4)*(5n+5)$
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Mo 07.12.2015 | | Autor: | Piba |
> Hallo Piba!
>
>
> Wende die Definition der Fakultät an.
>
> Damit gilt:
>
> [mm](5n+5)! \ = \ (5n)!*(5n+1)*(5n+2)*(5n+3)*(5n+4)*(5n+5)[/mm]
>
>
> Gruß vom
> Roadrunner
Das macht Sinn, danke.
Wenn ich nun mit [mm] $\bruch{x^4\cdot{}(5n)!}{(5n+5)!}$ [/mm] weiter rechne bekomme ich: $ [mm] \bruch{x^4\cdot{}(5n)!}{(5n+5)!} [/mm] = [mm] \bruch{x^4}{(5n+1)*(5n+2)*(5n+3)*(5n+4)*(5n+5)} [/mm] < q < 1 [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN \Rightarrow \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{3n}x^{4n}}{(5n)!} [/mm] $ konvergiert absolut.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:17 Mo 07.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo Piba!
> >
> >
> > Wende die Definition der Fakultät an.
> >
> > Damit gilt:
> >
> > [mm](5n+5)! \ = \ (5n)!*(5n+1)*(5n+2)*(5n+3)*(5n+4)*(5n+5)[/mm]
> >
>
> >
> > Gruß vom
> > Roadrunner
>
> Das macht Sinn, danke.
>
> Wenn ich nun mit [mm]\bruch{x^4\cdot{}(5n)!}{(5n+5)!}[/mm] weiter
> rechne bekomme ich: [mm] \bruch{x^4\cdot{}(5n)!}{(5n+5)!} [/mm] = [mm] \bruch{x^4}{(5n+1)*(5n+2)*(5n+3)*(5n+4)*(5n+5)} [/mm] < q < 1 [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm]
Ob das <q<1 für alle n ist, hängt doch noch gewaltig von x ab !!!
Aber es gilt: ist x [mm] \in \IR, [/mm] so ist [mm] (\bruch{x^4\cdot{}(5n)!}{(5n+5)!}) [/mm] eine Nullfolge. Damit gibt es ein N=N(x) [mm] \in \IN [/mm] mit
[mm] \bruch{x^4\cdot{}(5n)!}{(5n+5)!}<\bruch{1}{2} [/mm] für alle n>N(x).
Somit ist [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{3n}x^{4n}}{(5n)!} [/mm] absolut konvergent.
FRED
> [mm] \Rightarrow \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{3n}x^{4n}}{(5n)!}[/mm] [/mm]
> konvergiert absolut.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:26 Mo 07.12.2015 | | Autor: | Piba |
Ich bedanken mich bei euch für die Hilfe. Jetzt ist so einiges ersichtlicher geworden. ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
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