Absolute Konvergenz für x < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:25 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
| Aufgabe | | Für welche [mm] x\in\iR [/mm] konvergiert die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{(-1)^kx^k}{k} [/mm] absolut? |
So, hier meine bisherige Überlegung:
Es gilt doch
[mm] x^k*\summe_{k=1}^{n}\bruch{(-1)^k}{k} [/mm] ?
Dann wäre das ja [mm] x^k [/mm] * die Summe der alternierenden harmonischen Reihe,oder ? Diese ist aber nicht absolut konvergent.
Oder vertue ich mich hier?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:28 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ja, da vertust du dich leider. :)
Aus Summen kannst du nichts einfach rausziehen, wo der Laufindex drinnen steht (hier: k).
Wende lieber das Quotientenkriterium oder Leibniz-Kriterium an.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:32 Mi 02.12.2009 | | Autor: | matt101 |
Wenn du die Reihe nach Absoluter Konvergenz untersuchts solltest du den Betrag der Reihe betrachten. Damit wird [mm] (-1)^n [/mm] positiv nur und dann hast du eine Potenzreihe. Dann folgt Wurzelkriterium.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:39 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Ich habe mit dieser Information das Quotientenkriterium benutzt (weil ich nicht sehe, wie das Wurzelkriterium zu nutzen ist).
Habe dann als letzten Schritt [mm] |\bruch{x*k}{k+1}| [/mm] da stehen.
Kann man daraus dann sagen, für welche x der Ausdruck <1 ist und damit die Reihe absolut konvergiert?
|
|
|
| |
|
Hallo,
siehe andere Antwort...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 Do 03.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Hallo nochmal,
ich hatte das zwar jetzt mit dem Quotientenkriterium verstanden, aber mich interessiert, wie man die gleiche Aufgabe mit HIlfe des Wurzelkriteriums zeigt.
Ich bin ja ein typischer Fall von Wurzel=Panik
Ich habe dieses Kriterium nicht so ganz verstanden, da ich an der Aufgabe nicht sehe, was passiert, wenn ich die Folge unter die k-te Wurzel schreibe.
Vielleicht kann mir da mal jemand auf die Sprünge helfen?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Hallo nochmal,
>
> ich hatte das zwar jetzt mit dem Quotientenkriterium
> verstanden, aber mich interessiert, wie man die gleiche
> Aufgabe mit HIlfe des Wurzelkriteriums zeigt.
>
> Ich bin ja ein typischer Fall von Wurzel=Panik
>
> Ich habe dieses Kriterium nicht so ganz verstanden, da ich
> an der Aufgabe nicht sehe, was passiert, wenn ich die Folge
> unter die k-te Wurzel schreibe.
>
> Vielleicht kann mir da mal jemand auf die Sprünge helfen?
Du musst es nur hinschreiben:
Gem. WK konvergiert eine Reihe [mm] $\sum a_k$ [/mm] absolut, falls [mm] $\limsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_k|}=q$ [/mm] mit $q<1$
Also berechne hier [mm] $\limsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{\left|\frac{(-1)^{k-1}\cdot{}x^k}{k}\right|}=\limsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{|x|^k}\cdot{}\limsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{\frac{1}{k}}=|x|\cdot{}\limsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{\frac{1}{k}}=|x|\cdot{}1=|x|$
[/mm]
Also absolute Konv. für $|x|<1$ und Divergenz für $|x|>1$ - wie beim QK ...
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:23 Do 03.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Ah ok, ich glaube meine Schwierigkeit lag daran, dass ich nicht erkannt habe, dass der Grenzwert von [mm] \wurzel{\bruch{1}{k}} [/mm] 1 ist, aber habe es mal mit hohen werten im TR überprüft :)
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Ah ok, ich glaube meine Schwierigkeit lag daran, dass ich
> nicht erkannt habe, dass der Grenzwert von
> [mm]\wurzel{\bruch{1}{k}}[/mm] 1 ist,
nana, sorgfältiger aufschreiben, du meinst [mm] $\sqrt[\red{k}]{\frac{1}{k}}\longrightarrow [/mm] 1 \ \ [mm] \text{für} [/mm] \ [mm] k\to\infty$
[/mm]
> aber habe es mal mit hohen
> werten im TR überprüft :)
Oha, im Ernst?
Ich müsste mich schwerst irren, wenn ihr nicht beim Thema Folgen gezeigt habt, dass [mm] $\sqrt[n]{n}\longrightarrow [/mm] 1 \ \ [mm] \text{für} [/mm] \ [mm] n\to\infty$
[/mm]
Und [mm] $\sqrt[k]{\frac{1}{k}}=\frac{\sqrt[k]{1}}{\sqrt[k]{k}}=\frac{1}{\sqrt[k]{k}}\longrightarrow \frac{1}{1}=1 [/mm] \ \ [mm] \text{für} [/mm] \ [mm] k\to\infty$
[/mm]
Einfach nach Grenzwertsätzen, also keine Zauberei ...
Und v.a. kein TR notwendig!! 
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:12 Fr 04.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Ne, also den Satz hatten wir wirklich noch nicht.
In Büchern finde ich den,aber nicht in meiner Vorlesung.
Aber durchaus nachvollziehbar.
Danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:33 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Quotientenkriterium hier?
Muss ich das x dann mitschleppen? Auf die Idee wär ich hier nicht gekommen.
Leibniz sagt ja, weil [mm] \bruch{1}{k} [/mm] eine monoton fallende Nullfolge ist, konvergiert die Reihe?
Aber was mache ich dann mit meinem x?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:39 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Sorry, meinte Wurzelkriterium.
Nimm das Wurzelkriterium und vergiss den Rest!
Mit dem Leibniz kann man ja auch keine absolute Konvergenz nachweisen.
Teufel
|
|
|
| |
|
Hallo Ferolei,
deine gegebene Reihe ist eine (reelle) Potenzreihe, die hat immer einen Konvergenzradius $r$ mit [mm] $0\le r\le \infty$ [/mm] (also [mm] $\infty$ [/mm] ist auch zugelassen)
Für Potenzreihen gibt es gesonderte Konvergenzkriterien.
Falls ihr die noch nicht hattet, wovon ich ausgehe, benutze, wie erwähnt das QK.
Das x musst du dann mitschleppen:
Betrachte deine Reihe als "ganz normale" Reihe [mm] $\sum a_k$ [/mm] mit [mm] $a_k=\frac{(-1)^kx^k}{k}$
[/mm]
Dann ist [mm] $\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{(-1)^{k+1}x^{k+1}}{k+1}\cdot{}\frac{k}{(-1)^kx^k}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\left|x\cdot{}\frac{k}{k+1}\right|=|x|\cdot{}\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{k}{k+1}\right|=....$
[/mm]
Und wann konvergiert das gem. QK?
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:52 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Ich verstehe hier nicht, wieso ich überhaupt nach |x| schauen muss.
Es macht für mich den Anschein, dass der 2. Faktor divergiert ?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Ich verstehe hier nicht, wieso ich überhaupt nach |x|
> schauen muss.
Es sind doch diejenigen [mm] $x\in\IR$ [/mm] gesucht, für die deine Reihe konvergiert ...
> Es macht für mich den Anschein, dass der 2. Faktor
> divergiert ?
Hä?
Es ist doch ganz offensichtlich [mm] $\lim\limits_{k\to\infty}\frac{k}{k+1}=1$
[/mm]
Klammere mal $k$ in Zähler und Nenner aus ...
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:11 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Hatte sich schon erledigt :) Danke
Vergaß, dass wir hier die Folge und nicht die Reihe betrachten
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:48 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Ach Mist, ich sehe gerade, dass ich in der Reihe einen Schreibfehler habe :(
Da muss stehen:
[mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{(-1)^{k-1}*x^k}{k}
[/mm]
Ändert das jetzt alles ?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Ach Mist, ich sehe gerade, dass ich in der Reihe einen
> Schreibfehler habe :(
>
> Da muss stehen:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{(-1)^{k-1}*x^k}{k}[/mm]
>
> Ändert das jetzt alles ?
Na, überlege doch mal selbst, wir betrachten ständig die Beträge, ob da nun |-1| oder |1| steht, ist doch Latte.
Schreibs dir doch mal ausführlich hin ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:57 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Oh Denkfehler
Wir betrachten jetzt die Folge, richtig?
Die konvergiert gegen 1
Jetzt ist dann die Frage, was ich für x einsetzen kann, damit das Produkt kleiner 1 wird, richtig?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Oh Denkfehler
>
> Wir betrachten jetzt die Folge, richtig?
>
> Die konvergiert gegen 1 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Jetzt ist dann die Frage, was ich für x einsetzen kann,
> damit das Produkt kleiner 1 wird, richtig?
Och, wir haben nun [mm] $\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=|x|$ [/mm]
Und gem. QK konvergiert die Reihe [mm] $\sum a_k$, [/mm] falls dieser Limes $=q<1$ ist.
Also Konvergenz für $|x|<1$
Dh. die Reihe konvergiert für alle [mm] $x\in]-1,1[$ [/mm] und divergiert für alle $x<-1$ und alle $x>1$
Nun untersuche, wie es an den Randpunkten [mm] $x=\pm [/mm] 1$ aussieht.
Setze jeweils $x=1, x=-1$ ein in die Reihe und schaue, wie es sich mit der Konvergenz verhält ...
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:07 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Dass die Reihe für x=1 und x=-1 divergiert habe ich quasi als erstes herausgefunden, bevor ich ich irgendwelche Kriterien benutzt hatte.
Aber das sagen doch auch deine gewählten Intervallklammern, oder?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Dass die Reihe für x=1 und x=-1 divergiert habe ich quasi
> als erstes herausgefunden, bevor ich ich irgendwelche
> Kriterien benutzt hatte.
Das stimmt niocht ganz, für $x=1$ hast du die alternierende harmonische Reihe, die konvergent ist.
Aber da nach absoluter Konvergenz gefragt ist (hatte ich übersehen), ist die Betrachtung der Randpunkte hinfällig...
>
> Aber das sagen doch auch deine gewählten
> Intervallklammern, oder?
Nicht ganz:
Absolute Konvergenz gem. QK für $|x|<1$ (das ist "mein" Intervall) und Divergenz für $|x|>1$, also $x<-1$ und $x>1$ (auch nach QK)
Für $|x|=1$, also [mm] $x=\pm [/mm] 1$ liefert das QK keine Aussage.
Für den Randpunkt $x=-1$ hast du die (negative) harmonische Reihe, also Divergenz, für $x=+1$ die alternierende harmonische Reihe, also Konvergenz.
Aber natürlich in beiden Punkten keine absolute Konvergenz, nach der gefragt ist ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:21 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Alles klar.
Ich danke euch. Noch einen schönen Abend !
lG, Ferolei
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:59 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Ich glaube ich habe es :)
Für [mm] 0\le [/mm] x <1 konvergiert die Reihe absolut :D
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:01 Mi 02.12.2009 | | Autor: | fencheltee |
> Ich glaube ich habe es :)
>
> Für [mm]0\le[/mm] x <1 konvergiert die Reihe absolut :D
was ist mit dem interval -1<x<0?
|
|
|
|
