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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:51 Mo 02.06.2008 | | Autor: | Casandra |
| Aufgabe | Für alle Punke A,B, C [mm] \varepsilon [/mm] Rn gilt:
d [mm] (A,C)\le [/mm] d(A,B) + d (B,C)
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Diese Aufgabe sollten wir beweisen.
Habe dies mit Hilfe der Dreiecksungleich bewiesen.
Wäre nett, wenn mir jemand sagen könnte, ob die Lösung dazu richtig ist.
[mm] \overrightarrow{AC}= \overrightarrow{c} [/mm]
[mm] \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{a}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{BC} [/mm] = [mm] \overrightarrow{b}
[/mm]
d (A,C) = [mm] |\overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b}|
[/mm]
d (A,B) = [mm] |\overrightarrow{a}|
[/mm]
d(B,C) = [mm] |\overrightarrow{b}|
[/mm]
[mm] |\overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b}|²= (\overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b}) [/mm] * [mm] (\overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b}) [/mm] = [mm] (\overrightarrow{a}* \overrightarrow{a} [/mm] + 2 *( [mm] \overrightarrow{a}* \overrightarrow{b}) [/mm] + [mm] (\overrightarrow{b}* \overrightarrow{b}) [/mm]
[mm] \le |\overrightarrow{a}|² [/mm] + 2 * [mm] |\overrightarrow{a}* \overrightarrow{b}| [/mm] + [mm] |\overrightarrow{b}|² \le |\overrightarrow{a}|² [/mm] + 2 * [mm] |\overrightarrow{a}|* |\overrightarrow{b}| [/mm] + [mm] |\overrightarrow{b}|²=(|\overrightarrow{a}|+ |\overrightarrow{b}| [/mm] )²
[mm] \Rightarrow |\overrightarrow{a}|+ |\overrightarrow{b}| \le |\overrightarrow{a}| [/mm] + [mm] |\overrightarrow{b}|
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] d(A;C) [mm] \le [/mm] d(A,B) + d(B,C)
Bin mir nicht sicher ob man das so Begründen kann. Für eine Antwort würde ich mich freuen.
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:12 Mo 02.06.2008 | | Autor: | abakus |
> Für alle Punke A,B, C [mm]\varepsilon[/mm] Rn gilt:
> d [mm](A,C)\le[/mm] d(A,B) + d (B,C)
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo!
> Diese Aufgabe sollten wir beweisen.
> Habe dies mit Hilfe der Dreiecksungleich bewiesen.
Hallo,
das IST die Dreiecksungleichung. Es ist sicher nicht im Sinne der Aufgabenstellung, die Dreiecksungleichung mit der Dreiecksungleichung zu beweisen.
Wahrscheinlich solltest du mal die beim Quadrieren entstehenden Skalarprodukte genauer unter die Lupe nehmen.
Viele Grüße
Abakus
> Wäre nett, wenn mir jemand sagen könnte, ob die Lösung dazu
> richtig ist.
> [mm]\overrightarrow{AC}= \overrightarrow{c}[/mm]
> [mm]\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{a}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{BC}[/mm] = [mm]\overrightarrow{b}[/mm]
>
> d (A,C) = [mm]|\overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b}|[/mm]
> d (A,B)
> = [mm]|\overrightarrow{a}|[/mm]
> d(B,C) = [mm]|\overrightarrow{b}|[/mm]
>
> [mm]|\overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b}|²= (\overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b})[/mm]
> * [mm](\overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b})[/mm] =
> [mm](\overrightarrow{a}* \overrightarrow{a}[/mm] + 2 *(
> [mm]\overrightarrow{a}* \overrightarrow{b})[/mm] +
> [mm](\overrightarrow{b}* \overrightarrow{b})[/mm]
> [mm]\le |\overrightarrow{a}|²[/mm] + 2 * [mm]|\overrightarrow{a}* \overrightarrow{b}|[/mm]
> + [mm]|\overrightarrow{b}|² \le |\overrightarrow{a}|²[/mm] + 2 *
> [mm]|\overrightarrow{a}|* |\overrightarrow{b}|[/mm] +
> [mm]|\overrightarrow{b}|²=(|\overrightarrow{a}|+ |\overrightarrow{b}|[/mm]
> )²
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> [mm]\Rightarrow |\overrightarrow{a}|+ |\overrightarrow{b}| \le |\overrightarrow{a}|[/mm]
> + [mm]|\overrightarrow{b}|[/mm]
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> [mm]\Rightarrow[/mm] d(A;C) [mm]\le[/mm] d(A,B) + d(B,C)
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> Bin mir nicht sicher ob man das so Begründen kann. Für eine
> Antwort würde ich mich freuen.
> Liebe Grüße
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