Abstand Punkt-Gerade < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:05 Mo 02.04.2007 | | Autor: | belf |
| Aufgabe | Gerade g : [mm] \vektor{-2 \\ 2 \\ 1} [/mm] + t [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ -2}
[/mm]
Punkt C = (4;-2;2)
Berechnen Sie den Abstand des Punktes C von der Geraden g |
Hallo !
Ich habe versucht, diese Aufgabe zu lösen, aber war nicht erfolgreich. Die Lösung lautet d = 7.
Wie ich sie gelöst habe :
[mm] \vektor{2 \\ 1 \\ -2} [/mm] . [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 2} [/mm] = 0
also [mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 2}
[/mm]
also lautet die Gerade des Normalvektors
n : [mm] \vektor{4 \\ -2 \\ 2} [/mm] + k [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 2}
[/mm]
Jetzt habe ich beide Geraden verglichen, um die Schnittpunkte zu finden :
-2 + 2t = 4 + k
2 + t = -2 + 2k => t= 2k -4
1 + 2t = 2 + 2k
Also :
1 + 4k - 8 = 2 + 2k
2k = 9
k = 4,5
S = (8,5 ; 7 ; 11)
Jetzt habe ich den Vektor [mm] \overrightarrow{SC} [/mm] berechnet und seine Länge, um die Distanz von Punkt C von der Geraden zu haben :
[mm] \overrightarrow{SC} [/mm] = [mm] \vektor{-4,5 \\ -9 \\ -9}
[/mm]
| [mm] \overrightarrow{SC} [/mm] | = [mm] \wurzel{182,25} [/mm] = 13,5
Kann mir jemand sagen, wo ich mich verkalkuliert habe ?
Liebe Grüsse ! und Danke im Voraus !
|
|
| |
|
Hallo,
du brauchst keine Gerade des Normalenvektors, zumal eine Gerade im [mm] \IR^3 [/mm] unendlich viele Normalenvektoren hat, die in alle Richtungen gehen. Da ist die Wahrscheinlichkeit fast 0, dass du die Gerade erwischst die durch P geht.
Also folgender Ansatz:
Gesucht sei ein Vektor [mm] \bar [/mm] {PX} (X liegt auf g), der orthogonal zum RV der Geraden ist.
Ortsvektor enes bel. Punktes auf g bestimmen:
[mm] \vec x=\begin{pmatrix} -2+2*t \\ 2+t \\ 1-2*t \end{pmatrix}
[/mm]
Für [mm] \vec{PX} [/mm] gilt dann folgendes:
[mm] \vec{PX}=\begin{pmatrix} -2+2*t-4 \\ 2+t+2 \\ 1-2*t-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2*t-6 \\ t+4 \\ -2*t-1 \end{pmatrix}
[/mm]
Nun musst du das Skalarprodukt vom RV der Geraden und von [mm] \vec [/mm] {PX} bilden. Dies soll 0 sein, da beide Vektoren senkrecht aufeinander liegen. Dann kannst du nach t umstellen.
[mm] \begin{pmatrix} 2*t-6 \\ t+4 \\ -2*t-1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}=0
[/mm]
<-> (2*t-6)*2+(t+4)-2*(-2*t-1)=0
<-> 4*t-12+t+4+4*t+2=0
<-> 9*t=6 <-> t=2/3
Nun setzt du das t in den Vektor [mm] \vec{PX} [/mm] ein. Der gesuchte Abstand ist dann der Betrag dieses Vektors.
[mm] \vec{PX}=\begin{pmatrix} 2*2/3-6 \\ 2/3+4 \\ -2*2/3-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -14/3 \\ 14/3 \\ -7/3 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \left| \begin{pmatrix} -14/3 \\ 14/3 \\ -7/3 \end{pmatrix}
\right|= \wurzel{(-14/3)^2+(14/3)^2+(-7/3)^2}=\wurzel{49}=7 [/mm] ist der gesuchte Abstand
Mit lieben Grüßen
Andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:10 Mo 02.04.2007 | | Autor: | belf |
Vielen Dank Andreas !
|
|
|
|
