Abstand Punkt-Gerade < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:48 So 05.05.2013 | | Autor: | Fluorine |
| Aufgabe | | Leite eine allgemeine Methode zur Bestimmung des Abstands einens Punktes von einer Geraden her. |
In meinem Mathe-LK (JGST 11, G8) sind wir grad bei der Bestimmung des Abstands Punkt-Gerade angelangt. Mein "Problem" ist, dass wir eine absolut bescheuerte und grauenhafte Methode beigebracht bekommen haben: mit der Geradenformel stellen wir den allgemeinen Geradenpunkt auf, und dann mit dem gegebenen Punkt den Allgemeinen Vektor Punkt-Gerade auf, welcher einen Parameter besitzt. Diesen setzen wir in die Betragsformel für Vektoren ein und berechnen per Differentialrechnung das Minimum dieser Funktion. Ich halte diesen Rechenweg für eine absolute Katastrophe und den dazugehörigen Aufwand für keineswegs vertretbar, vorallem in Anbetracht der Zeitbegrenzung bei Klausuren etc.
Um dies zu umgehen habe ich mir folgende Abstandsformel angeeignet:
d = [mm] \bruch{|(\vec{q}-\vec{p})\times\vec{u}|}{|\vec{u}|}
[/mm]
q ist der Ortsvekotr des Punktes, p der Stützvektor der Geraden und u der Richtungsvektor.
Meine Lehrerin akzeptiert diese Methode jedoch nicht, da wir das Kreuzprodukt nicht mit der dafür nötigen Tiefe behandeln werden, welche notwendig wäre um diese Formel zu verstehen. Also hab ich versucht, mir einen anderen Weg zu überlegen.
Gegeben sind ein Punkt Q und eine Gerade g mit dem normierten Richtungsvektor [mm] \vec{u _{0}} [/mm] und dem Stützpunkt P.
Es gilt:
[mm] \overrightarrow{PQ} [/mm] = [mm] \overrightarrow{PL}+\overrightarrow{LQ}
[/mm]
L ist hierbei der Lotfußpunkt des Punktes Q auf der Geraden g. Es wird mit [mm] \vec{u_{0}} [/mm] multipliziert.
[mm] \overrightarrow{PQ}*\vec{u_{0}} [/mm] = [mm] \overrightarrow{PL}*\vec{u_{0}}, [/mm] denn [mm] \overrightarrow{LQ}\perp\vec{u_{0}}
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] \overrightarrow{OL} [/mm] = [mm] \overrightarrow{OP}+(\overrightarrow{PQ}*\vec{u_{0}})*\vec{u_{0}}
[/mm]
Und daraus:
[mm] \overrightarrow{LQ} [/mm] = [mm] \overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OL}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{LQ} [/mm] = [mm] \overrightarrow{OQ}-(\overrightarrow{OP}+(\overrightarrow{PQ}*\vec{u_{0}})*\vec{u_{0}})
[/mm]
[mm] \overrightarrow{LQ} [/mm] = [mm] \overrightarrow{PQ}-(\overrightarrow{PQ}*\vec{u_{0}})*\vec{u_{0}}
[/mm]
Wegen [mm] |\overrightarrow{LQ}| [/mm] = d gilt:
d = [mm] |\overrightarrow{PQ}-(\overrightarrow{PQ}*\vec{u_{0}})*\vec{u_{0}}|
[/mm]
Meine Frage ist einfach nur: ist das bereits bekannt ober halbwegs "neu"? :)
Und noch die Obligatorik:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Fluorine,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Leite eine allgemeine Methode zur Bestimmung des Abstands
> einens Punktes von einer Geraden her.
> In meinem Mathe-LK (JGST 11, G8) sind wir grad bei der
> Bestimmung des Abstands Punkt-Gerade angelangt. Mein
> "Problem" ist, dass wir eine absolut bescheuerte und
> grauenhafte Methode beigebracht bekommen haben: mit der
> Geradenformel stellen wir den allgemeinen Geradenpunkt auf,
> und dann mit dem gegebenen Punkt den Allgemeinen Vektor
> Punkt-Gerade auf, welcher einen Parameter besitzt. Diesen
> setzen wir in die Betragsformel für Vektoren ein und
> berechnen per Differentialrechnung das Minimum dieser
> Funktion. Ich halte diesen Rechenweg für eine absolute
> Katastrophe und den dazugehörigen Aufwand für keineswegs
> vertretbar, vorallem in Anbetracht der Zeitbegrenzung bei
> Klausuren etc.
>
> Um dies zu umgehen habe ich mir folgende Abstandsformel
> angeeignet:
>
> d = [mm]\bruch{|(\vec{q}-\vec{p})\times\vec{u}|}{|\vec{u}|}[/mm]
>
> q ist der Ortsvekotr des Punktes, p der Stützvektor der
> Geraden und u der Richtungsvektor.
>
> Meine Lehrerin akzeptiert diese Methode jedoch nicht, da
> wir das Kreuzprodukt nicht mit der dafür nötigen Tiefe
> behandeln werden, welche notwendig wäre um diese Formel zu
> verstehen. Also hab ich versucht, mir einen anderen Weg zu
> überlegen.
>
> Gegeben sind ein Punkt Q und eine Gerade g mit dem
> normierten Richtungsvektor [mm]\vec{u _{0}}[/mm] und dem Stützpunkt
> P.
>
> Es gilt:
>
> [mm]\overrightarrow{PQ}[/mm] =
> [mm]\overrightarrow{PL}+\overrightarrow{LQ}[/mm]
>
> L ist hierbei der Lotfußpunkt des Punktes Q auf der
> Geraden g. Es wird mit [mm]\vec{u_{0}}[/mm] multipliziert.
>
> [mm]\overrightarrow{PQ}*\vec{u_{0}}[/mm] =
> [mm]\overrightarrow{PL}*\vec{u_{0}},[/mm] denn
> [mm]\overrightarrow{LQ}\perp\vec{u_{0}}[/mm]
>
> Daraus folgt:
>
> [mm]\overrightarrow{OL}[/mm] =
> [mm]\overrightarrow{OP}+(\overrightarrow{PQ}*\vec{u_{0}})*\vec{u_{0}}[/mm]
>
Erläutere das etwas genauer.
> Und daraus:
>
> [mm]\overrightarrow{LQ}[/mm] =
> [mm]\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OL}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{LQ}[/mm] =
> [mm]\overrightarrow{OQ}-(\overrightarrow{OP}+(\overrightarrow{PQ}*\vec{u_{0}})*\vec{u_{0}})[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{LQ}[/mm] =
> [mm]\overrightarrow{PQ}-(\overrightarrow{PQ}*\vec{u_{0}})*\vec{u_{0}}[/mm]
>
> Wegen [mm]|\overrightarrow{LQ}|[/mm] = d gilt:
>
> d =
> [mm]|\overrightarrow{PQ}-(\overrightarrow{PQ}*\vec{u_{0}})*\vec{u_{0}}|[/mm]
>
>
> Meine Frage ist einfach nur: ist das bereits bekannt ober
> halbwegs "neu"? :)
>
> Und noch die Obligatorik:
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 So 05.05.2013 | | Autor: | Fluorine |
Genau für diesen Schritt ist es essentiell, dass der Richtungsvektor normiert ist. Der Grundgedanke ist analog zur Hesseschen Normalform.
Ich lass die mathematisch Korrekte Notation mal weg, weil das echt mühselig ist.
PQ Vektor lässt sich zerlegen in PL Vektor und LQ Vektor. Wenn ich OP Vektor mit PL Vektor addiere, erhalte ich den Ortsvektor vom Lotfußpunkt. Ich kenne aber nur PQ-Vektor. Also multipliziere ich Mit u0-Vektor um den zu u0-Vektor orthogonalen Anteil LQ zu eliminieren. Dann bleibt u0-Vektor mal PL Vektor übrig. Da der Betrag von u0-Vektor jedoch 1 ist, ist das ergebnis des Skalarprodukts u0 mal PL gleich dem "orientierten" Betrag von PL. Orientiert heißt, dass ich weiß, wie oft ich vom Stützpunkt aus den Richtungsvektor addieren bzw. SUBTRAHIEREN (deshalb Orientiert) muss, um zum Lotfußpunkt zu gelangen.
Ist sehr unmathematisch formuliert, aber halt meine Art zu denken. Ich hoffe, es ist verständlich :)
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Hallo Fluorine,
> Genau für diesen Schritt ist es essentiell, dass der
> Richtungsvektor normiert ist. Der Grundgedanke ist analog
> zur Hesseschen Normalform.
>
> Ich lass die mathematisch Korrekte Notation mal weg, weil
> das echt mühselig ist.
>
> PQ Vektor lässt sich zerlegen in PL Vektor und LQ Vektor.
> Wenn ich OP Vektor mit PL Vektor addiere, erhalte ich den
> Ortsvektor vom Lotfußpunkt. Ich kenne aber nur PQ-Vektor.
> Also multipliziere ich Mit u0-Vektor um den zu u0-Vektor
> orthogonalen Anteil LQ zu eliminieren. Dann bleibt
> u0-Vektor mal PL Vektor übrig. Da der Betrag von u0-Vektor
> jedoch 1 ist, ist das ergebnis des Skalarprodukts u0 mal PL
> gleich dem "orientierten" Betrag von PL. Orientiert heißt,
> dass ich weiß, wie oft ich vom Stützpunkt aus den
> Richtungsvektor addieren bzw. SUBTRAHIEREN (deshalb
> Orientiert) muss, um zum Lotfußpunkt zu gelangen.
>
> Ist sehr unmathematisch formuliert, aber halt meine Art zu
> denken. Ich hoffe, es ist verständlich :)
Das Verfahren ist nicht neu, da es, wenn auch nicht bis
ins kleinste ausgeführt, unter dem Namen "senkrechte Projektion" bekannt ist.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:39 So 05.05.2013 | | Autor: | Fluorine |
Autsch, ok. Manchmal sollte ich mehr selbst nachdenken. Danke jedenfalls :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:13 So 05.05.2013 | | Autor: | abakus |
> Leite eine allgemeine Methode zur Bestimmung des Abstands
> einens Punktes von einer Geraden her.
> In meinem Mathe-LK (JGST 11, G8) sind wir grad bei der
> Bestimmung des Abstands Punkt-Gerade angelangt. Mein
> "Problem" ist, dass wir eine absolut bescheuerte und
> grauenhafte Methode beigebracht bekommen haben: mit der
> Geradenformel stellen wir den allgemeinen Geradenpunkt auf,
> und dann mit dem gegebenen Punkt den Allgemeinen Vektor
> Punkt-Gerade auf, welcher einen Parameter besitzt. Diesen
> setzen wir in die Betragsformel für Vektoren ein und
> berechnen per Differentialrechnung das Minimum dieser
> Funktion. Ich halte diesen Rechenweg für eine absolute
> Katastrophe und den dazugehörigen Aufwand für keineswegs
> vertretbar, vorallem in Anbetracht der Zeitbegrenzung bei
> Klausuren etc.
Hallo,
richtig schön knackig ist dieser Weg sicher nicht.
Wenn man allerdings nicht den Betrag des Vektors minimiert, sondern das Quadrat des Betrages minimiert, wird die resultierende Extremwertaufgabe harmlos (es ist keine Wurzel abzuleiten). Letztendlich muss man nicht einmal ableiten, weil man nur den Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion braucht (wofür es feste Formeln gibt).
Der für meine Begriffe einfachste Weg (man muss nur verstehen und keine Formel auswendig lernen)
ist dieser: Die kürzeste Verbindungslinie vom gegebenen Punkt zur Geraden steht senkrecht auf dieser, also ist das Skalarprodukt aus dem Richtungsvektor der Geraden und den Vektor der Verbindungslinie Null.
In deiner benutzten Notation heißt das
[mm]\vec{u}*(\overrightarrow{QP}+t*\vec{u})=0[/mm].
Das ergibt einen Wert für t, und für den mit diesem t ermittelten Geradenpunkt berechnet man den Abstand zu Q.
Zwar hat man mit obiger Formel nicht sofort den Abstand, sondern erst mal nur einen bestimmten Wert t, aber du musst dafür auch den Richtungsvektor nicht normieren.
Ich finde es auf alle Fälle richtig gut, dass du dir deine eigenen Gedanken machst und eigene Wege gehst. Damit kannst du auch selbst entscheiden, welcher Weg (im Rahmen der von deiner Lehrerin festgelegten Restriktionen) der beste für DICH ist.
Gruß Abakus
>
> Um dies zu umgehen habe ich mir folgende Abstandsformel
> angeeignet:
>
> d = [mm]\bruch{|(\vec{q}-\vec{p})\times\vec{u}|}{|\vec{u}|}[/mm]
>
> q ist der Ortsvekotr des Punktes, p der Stützvektor der
> Geraden und u der Richtungsvektor.
>
> Meine Lehrerin akzeptiert diese Methode jedoch nicht, da
> wir das Kreuzprodukt nicht mit der dafür nötigen Tiefe
> behandeln werden, welche notwendig wäre um diese Formel zu
> verstehen. Also hab ich versucht, mir einen anderen Weg zu
> überlegen.
>
> Gegeben sind ein Punkt Q und eine Gerade g mit dem
> normierten Richtungsvektor [mm]\vec{u _{0}}[/mm] und dem Stützpunkt
> P.
>
> Es gilt:
>
> [mm]\overrightarrow{PQ}[/mm] =
> [mm]\overrightarrow{PL}+\overrightarrow{LQ}[/mm]
>
> L ist hierbei der Lotfußpunkt des Punktes Q auf der
> Geraden g. Es wird mit [mm]\vec{u_{0}}[/mm] multipliziert.
>
> [mm]\overrightarrow{PQ}*\vec{u_{0}}[/mm] =
> [mm]\overrightarrow{PL}*\vec{u_{0}},[/mm] denn
> [mm]\overrightarrow{LQ}\perp\vec{u_{0}}[/mm]
>
> Daraus folgt:
>
> [mm]\overrightarrow{OL}[/mm] =
> [mm]\overrightarrow{OP}+(\overrightarrow{PQ}*\vec{u_{0}})*\vec{u_{0}}[/mm]
>
> Und daraus:
>
> [mm]\overrightarrow{LQ}[/mm] =
> [mm]\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OL}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{LQ}[/mm] =
> [mm]\overrightarrow{OQ}-(\overrightarrow{OP}+(\overrightarrow{PQ}*\vec{u_{0}})*\vec{u_{0}})[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{LQ}[/mm] =
> [mm]\overrightarrow{PQ}-(\overrightarrow{PQ}*\vec{u_{0}})*\vec{u_{0}}[/mm]
>
> Wegen [mm]|\overrightarrow{LQ}|[/mm] = d gilt:
>
> d =
> [mm]|\overrightarrow{PQ}-(\overrightarrow{PQ}*\vec{u_{0}})*\vec{u_{0}}|[/mm]
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>
> Meine Frage ist einfach nur: ist das bereits bekannt ober
> halbwegs "neu"? :)
>
> Und noch die Obligatorik:
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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