Abstand Punkt - Ebene < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sind die Ebene [mm] E:x_{1} +3x_{2} [/mm] - [mm] 2x_{3} [/mm] = und die Punkte A(0|2|0) und B(5|-1|-2)
a) Zeigen Sie, dass die Gerade durch A und B parallel zur Ebene E ist.
b) Bestimmten Sie den Abstand der Punkte der Geraden durch A und B zur Ebene E. |
Ich komme in Teilaufgabe b) nicht weiter, da an eine Stelle komme, bei der ich nicht weiß, wie ich sie zu interpretieren haben.
a) [mm] g:\vec{x} [/mm] = [mm] \pmat{0 \\ 2 \\ 0} [/mm] + r * [mm] \pmat{5 \\ -3 \\ -2}
[/mm]
[mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \pmat{1 \\ 3 \\ -2}
[/mm]
wenn parallel, dann Richtungsvektor orthogonal zum Normalenvektor
[mm] \pmat{5 \\ -3 \\ -2} [/mm] * [mm] \pmat{1 \\ 3 \\ -2} [/mm] = 5 -9 + 4 = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] Gerade parallel zur Ebene
b) [mm] x_{1} [/mm] = 5r
[mm] x_{2} [/mm] = 2 - 3r
[mm] x_{3} [/mm] = -2r
g in E einsetzen
[mm] \Rightarrow [/mm] 5r + 6 - 9r + 4r = 0
[mm] \gdw [/mm] 6 = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] Widerspruch!
Steckt da irgendwo ein Rechenfehler drin? Ansonsten weiß ich nicht, wie ich den Widerspruch zu interpretieren haben. Ich weiß, dass die Gerade parallel zur Ebene verläuft. (Sie liegt nicht in der Ebene, da die Punkte A und B sonst auch in der Ebene liegen müssten)
Sonst hätte ich auch darauf geschlossen, dass die Gerade in der Ebene liegt und deswegen der Abstand nicht berechenbar ist.
Ich hatte versucht einen Koeffizieten auszurechnen, durch den ich den Ortsvektor des Lotschnittpunktes errechnen hätte können. Die Länge von [mm] \vec{AS} [/mm] wäre der Abstand gewesen.
Hoffe jemand versteht mein Problem und kann mir helfen =)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:11 So 14.10.2007 | | Autor: | koepper |
> Gegeben sind die Ebene [mm]E:x_{1} +3x_{2}[/mm] - [mm]2x_{3}[/mm] = und die
> Punkte A(0|2|0) und B(5|-1|-2)
> a) Zeigen Sie, dass die Gerade durch A und B parallel zur
> Ebene E ist.
> b) Bestimmten Sie den Abstand der Punkte der Geraden durch
> A und B zur Ebene E.
> Ich komme in Teilaufgabe b) nicht weiter, da an eine
> Stelle komme, bei der ich nicht weiß, wie ich sie zu
> interpretieren haben.
>
> a) [mm]g:\vec{x}[/mm] = [mm]\pmat{0 \\ 2 \\ 0}[/mm] + r * [mm]\pmat{5 \\ -3 \\ -2}[/mm]
>
> [mm]\vec{n}[/mm] = [mm]\pmat{1 \\ 3 \\ -2}[/mm]
> wenn parallel, dann
> Richtungsvektor orthogonal zum Normalenvektor
> [mm]\pmat{5 \\ -3 \\ -2}[/mm] * [mm]\pmat{1 \\ 3 \\ -2}[/mm] = 5 -9 + 4 = 0
> [mm]\Rightarrow[/mm] Gerade parallel zur Ebene
>
> b) [mm]x_{1}[/mm] = 5r
> [mm]x_{2}[/mm] = 2 - 3r
> [mm]x_{3}[/mm] = -2r
> g in E einsetzen
> [mm]\Rightarrow[/mm] 5r + 6 - 9r + 4r = 0
> [mm]\gdw[/mm] 6 = 0
> [mm]\Rightarrow[/mm] Widerspruch!
>
> Steckt da irgendwo ein Rechenfehler drin?
Nein! Alles korrekt!
Der Widerspruch zeigt einfach, daß Gerade und Ebene keine gemeinsamen Punkte haben, die Gerade also nicht in der Ebene liegt.
Um den Abstand zu berechnen konstruierst du eine Hilfsgerade, die durch A geht (oder durch B, das ist egal, weil beide ja den gleichen Abstand zur Ebene haben) und senkrecht zur Ebene steht (Normalvektor als Richtugnsvektor benutzen)
Der Schnittpunkt von Hilfsgerade und Ebene ist der Lotfußpunkt.
Es gibt noch eine anderen Weg über die Hessesche Normalenform, aber ich weiß ja nicht, ob du die kennst.
Gruß
Will
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:14 So 14.10.2007 | | Autor: | Soinapret |
Danke ;)
Ich Depp hab die Gerade zwischen A und B, statt der Lotgeraden genommen. Waaah ;)
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