Abstand: Punkt - Ebene < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | E: [mm] 3x_{1} [/mm] - [mm] 6x_{2} [/mm] + [mm] 2x_{3} [/mm] + 4 = 0
A(15/1/3)
Welcher Punkt B in E liegt A am nächsten? |
Hallo!
Mir ist klar, dass sich diese Aufgabe schnell mit Hilfe einer Lotgeraden lösen lässt.
Ich wollte aber den Umgang mit der Hesse-Form einer Ebene üben, daher habe ich diesen Weg gewählt, und bin dabei über ein Problem gestolpert.
Ich teile euch einfach mal kurz meinen Lösungsweg mit:
[mm] |\overrightarrow{n}| [/mm] = [mm] \wurzel{3^{2} + 6^{2} + 2^{2}} [/mm] = 7
Somit gilt für die Hesse-Form:
[mm] -\bruch{1}{7}(3x_{1} [/mm] - [mm] 6x_{2} [/mm] + [mm] 2x_{3} [/mm] + 4) = 0
Setzt man den Punkt A ein, erhält man als Ergebnis: -7 ... somit befindet sich A also im gleichen Halbraum der Ebene wie der Ursprung.
Der Normalvektor der Ebene ist gegen den Ursprung gerichtet, zeigt also in Richtung des entgegengesetzten Halbraumes der Ebene.
Somit gilt für B:
[mm] \overrightarrow{B} [/mm] = [mm] \overrightarrow{A} [/mm] + [mm] d\*\bruch{1}{|\overrightarrow{n}|} \* \overrightarrow{n}
[/mm]
Addition, da [mm] \overrightarrow{n} [/mm] die gleiche Richtung hat wie [mm] \overrightarrow{AB}
[/mm]
So komme ich für B auf: B(18/-5/5)
Das korrekte Ergebnis lautet aber: B(12/7/1) ... dort wo ich addiert habe (begründet), müsste ich also irgendwie durch einen negativen Faktor auf eine Differenz statt einer Summe kommen... wo liegt mein Fehler?
Ich bedanke mich im Voraus!
Johannes
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo,
Du hast bisher richtig gedacht aber hast was kleines aber wichtiges vergessen,also:
Wenn du allgemein die Ebenengleichung in Koordinatenform schreibst,musst du auf einer Seite die Veriablen und auf der anderen Seite eine Konstante schreiben,die eben nicht NEGATIV sein darf,also,deine Gleichung in allgemeiner Form lautet: 3x-6y+2z=-4 hier siehst du,dass die rechte Seite negativ ist,dann musst du die Gleichung mit -1 multiplizieren,sodass die rechte Seite positiv ist,gleichzeitig ändert sich auch das Vorzeichen vom Normalvektor,also,du musst beim Lotfußpunkt die richtige Koordinaten vom Normalvektor einsetzen,dann hast du richitge Lösung,allerdingst spielt dieses Vorzeichen im Betrag des Vektors keine Rolle,deswegen war dein erter Schritt richtig.
Übrigens hast du ein Minuszeichen vor 1/7,wenn du die Gleichung durch 7 dividiert hast,das musst du auch wegnehmen!
Grüß
Omid
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:56 So 06.01.2008 | | Autor: | readme.txt |
Vielen Dank schon einmal für deine Antwort!
Ich wusste nicht, dass ich den Normalvektor der "neuen" Ebene nehmen muss, die mit -1 multipliziert wurde, leuchtet mir aber ein, vielen Dank also!
Das Minuszeichen vor dem Bruch ist aber korrekt, das ist ja sozusagen um die Konstante (+4) negativ zu machen, damit der Ursprung im negativen Halbraum liegt. So haben wir das gelernt!
Edit: Tut mir leid, der erste Beitrag hat noch geladen, als ich was dran ändern wollte und ihn erneut abgeschickt habe. Konnte leider keine Funktion zum Löschen finden!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:57 So 06.01.2008 | | Autor: | readme.txt |
Vielen Dank schon einmal für deine Antwort!
Ich wusste nicht, dass ich den Normalvektor der "neuen" Ebene nehmen muss, die mit -1 multipliziert wurde, leuchtet mir aber ein, vielen Dank also!
Das Minuszeichen vor dem Bruch ist aber korrekt, das ist ja sozusagen um die Konstante (+4) negativ zu machen, damit der Ursprung im negativen Halbraum liegt. So haben wir das gelernt!
Grüße,
Johannes
|
|
|
|
