Abstand Punkt Gerade in 2-d < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Welche Punkte auf g1: 2x-y+2=0 haben den gleichen Abstand vom Punkt P(0/4) und der Geraden g2: y-3=0 |
Bei dieser Aufgabe habe ich zur Vorgehensweise keine Ahnung. Eine Zeichnung zur Besprechung der Vorgehensweise würde mir sehr helfen.
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Hallo Feuerbach,
na, eigentlich denke ich, dass du selbst in der Lage bist, zwei Funktionen und einen Punkt in ein Koordiantensystem einzuzeichen!
Du suchst nun einen Punkt S auf [mm] g_1, [/mm] soidass der Abstand von dem Punkt S zur Geraden [mm] g_2 [/mm] gleich dem Abstand von S zu P ist.
[Dateianhang nicht öffentlich]
P.S. Die Frage finde ich ziemlich absurd, denn es gibt nur den (!) Abstand von Gerade [mm] g_1 [/mm] und Punkt P. Abstand impliziert ja immer den kleinsten möglich Weg von zwei Objekten. Dies wäre genau das Lot auf [mm] g_1 [/mm] durch den Punkt P. Das ist dann der Abstand. Einen anderen "Abstand" gibt es nicht, zumindest nach meinem Wortgebrauch. Von daher finde ich die Aufgabe in erster Linie fragwürdig.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> P.S. Die Frage finde ich ziemlich absurd, denn es gibt nur
> den (!) Abstand von Gerade [mm]g_1[/mm] und Punkt P. Abstand
> impliziert ja immer den kleinsten möglich Weg von zwei
> Objekten. Dies wäre genau das Lot auf [mm]g_1[/mm] durch den Punkt
> P. Das ist dann der Abstand. Einen anderen "Abstand" gibt
> es nicht, zumindest nach meinem Wortgebrauch. Von daher
> finde ich die Aufgabe in erster Linie fragwürdig.
Hallo,
EDIT, weil falsch gelesen:
die Fragestellung ist aber nicht die nach dem Abstand der Geraden vom Punkt P.
Sondern gesucht sind die Punkte [mm] P_1 [/mm] auf [mm] g_1 [/mm] und [mm] P_2 [/mm] auf [mm] g_2, [/mm] welche von P denselben Abstand haben.
Fragwürdig finde ich die Fragestellung nicht: jeder Punkt der Geraden [mm] g_1 [/mm] hat einen Abstand zur Geraden [mm] g_2.
[/mm]
Nun sind die Punkte gesucht, bei denen dieser Abstand genauso groß ist wie der zu P.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:18 Di 05.02.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo Feuerbach,
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> na, eigentlich denke ich, dass du selbst in der Lage bist,
> zwei Funktionen und einen Punkt in ein Koordiantensystem
> einzuzeichen!
>
> Du suchst nun einen Punkt S auf [mm]g_1,[/mm] soidass der Abstand
> von dem Punkt S zur Geraden [mm]g_2[/mm] gleich dem Abstand von S zu
> P ist.
Hallo Feuerbach,
habt ihr schon Kegelschnitte behandelt?
Wenn ja: Der geometrische Ort ALLER Punkte, die den gleichen Abstand zu einem gegebenen Punkt und einer gegebenen Geraden haben, ist eine Parabel.
Du brauchst nun die Punkte der Parabel, die auch auf [mm] $g_1$ [/mm] liegen.
Gruß Abakus
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> P.S. Die Frage finde ich ziemlich absurd, denn es gibt nur
> den (!) Abstand von Gerade [mm]g_1[/mm] und Punkt P. Abstand
> impliziert ja immer den kleinsten möglich Weg von zwei
> Objekten. Dies wäre genau das Lot auf [mm]g_1[/mm] durch den Punkt
> P. Das ist dann der Abstand. Einen anderen "Abstand" gibt
> es nicht, zumindest nach meinem Wortgebrauch. Von daher
> finde ich die Aufgabe in erster Linie fragwürdig.
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> Welche Punkte auf g1: 2x-y+2=0 haben den gleichen Abstand
> vom Punkt P(0/4) und der Geraden g2: y-3=0
>
> Bei dieser Aufgabe habe ich zur Vorgehensweise keine
> Ahnung.
Hallo,
gehe ich recht in der Annahme, daß Dir, da Du im Forum "Vektorrechnung" postest, die Grundlagen der Vektorrechnung bekannt sind bzw. bekannt sein sollten?
Mit Vektorrechnung würde ich die Aufgabe so lösen:
[mm] g_1 [/mm] in Parameterform
[mm] g_1: \vektor{x\\y}=\vektor{0\\2}+t*\vektor{1\\2}
[/mm]
Der Ortsvektor eines jeden Punktes [mm] P_t [/mm] auf [mm] g_1 [/mm] ist also von der Bauart [mm] \vektor{0\\2}+t*\vektor{1\\2}.
[/mm]
Nun kann man sich überlegen, wie weit [mm] P_t [/mm] von der Geraden [mm] g_2 [/mm] entfernt ist.
Mir ist nach wie vor nicht klar, ob die Berechnung von Abständen mithilfe der HNF schon dran war.
Wenn ja, kommt sie hier zum Einsatz,
wenn nein, kannst Du's so z.B. machen wie in Deiner anderen Aufgabe, halt irgendwie den Abstand [mm] d_1 [/mm] des Punktes [mm] P_t(t|2+2t) [/mm] zur Geraden g-2 berechnen.
Dieser Abstand wird natürlich von t abhängen.
Dann berechne den Abstand [mm] d_2 [/mm] von [mm] P_t [/mm] zum Punkt P.
Auch dieser hängt von t ab.
Und dann überlegst (=berechnest) Du Dir, für welches t die Abstände [mm] d_1 [/mm] und [mm] d_2 [/mm] gleich sind.
LG Angela
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Herzlichen Dank für die Antwort.
Ich habe verstanden, wie ich g1 von der Normalenform in die Paramerform umwandle.
Die Entfernung des Punktes [mm] P_t [/mm] (t/2+2t) von der Geraden g2: y-3=0 oder (0/1)x-3=0 ist:
2+2t-3=0
2t-1=0
Die Grundlagen der Vektorrechnung sind mir bekannt. Vielleicht wäre es möglich, die Aufgabe einmal mit und einmal ohne Vektorrechnung durchzudenken. So würden mir die Ähnlichkeiten zwischen beiden Rechenwegen besser deutlicher werden.
Zwar sind mir die Grundlagen bekannt, leider ist meine Handhabung dieser Kenntnisse sehr schlecht. Ich bräuchte ein wenig mehr Praxis. Deswegen wiederhole ich jene Aufgaben, bis mir der Lösungsweg geläufiger wird.
Vielleicht könntest Du mir einen Link schicken, wo ich die Aufgabe finde, in der ich schon einmal jenen Abstand berechnet habe? Ich weiß leider nicht, welche Aufgabe Du meint.
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> Die Entfernung des Punktes [mm]P_t[/mm] (t/2+2t) von der Geraden
> g2: y-3=0 oder (0/1)x-3=0
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") da scheine ich irgendwas nicht zu verstehen ...
> ist:
> 2+2t-3=0
> 2t-1=0
> Die Grundlagen der Vektorrechnung sind mir bekannt.
> Vielleicht wäre es möglich, die Aufgabe einmal mit und
> einmal ohne Vektorrechnung durchzudenken. So würden mir
> die Ähnlichkeiten zwischen beiden Rechenwegen besser
> deutlicher werden.
Hallo Feuerbach,
ich würde vorschlagen, schön schrittweise vorgehen,
um geeignete Gleichungen aufzustellen.
Gesucht sind gewisse Punkte Q mit noch unbekannten
Koordinaten (x|y)
Verlangt ist:
1.) der Punkt Q soll auf [mm] g_1 [/mm] liegen, also müssen die
Koordinaten die Gleichung von [mm] g_1 [/mm] erfüllen:
$\ [mm] 2\,x-y+2=0$
[/mm]
2.) der Punkt Q soll von P und [mm] g_2 [/mm] den gleichen Abstand
haben: d(Q,P) = [mm] d(Q,g_2)
[/mm]
Nun kann man den Punktabstand d(Q,P) leicht mit
der Abstandsformel (Pythagoras) darstellen.
Der Abstand d(Q,g2) ist sehr leicht anzugeben, da ja
[mm] g_2 [/mm] eine Parallele zur x-Achse ist. Es ist
[mm] d(Q,g_2) [/mm] = |y-3|
So kommst du leicht zu einem Gleichungssystem
für das gesuchte Koordinatenpaar (x|y) , das ev.
mehr als eine einzige Lösung haben kann.
LG , Al-Chwarizmi
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| Aufgabe | Die Entfernung des Punktes [mm] P_t [/mm] (t/2+2t) von der Geraden
> g2: y-3=0 oder g2:(0/1)x-3=0 (Normalenform)
Ich hätte gedacht, ich würde die Entfernung erhalten, wenn ich den Punkt [mm] P_t [/mm] in die Hessische Normalenform einsetzen würde.
(0/1)(t/2+2t)-3=0
2+2t-3=-1+2t=0 |
Welchen Fehler habe ich gemacht?
Vorkenntnisse in der Vektorrechnung sind vorhanden. Was eine Parabel ist, weiß ich auch (y=x²). Von Kegelschnitten habe ich ein wenig Ahnung. Ich hätte diese Aufgabe nie in Verbindung mit Parabeln gebracht.
Für einen Link, mit dem ich meine fehlenden Grundkenntnisse auferarbeiten kann, wäre ich dankbar.
gruß,
feuerbach
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> Die Entfernung des Punktes [mm]P_t[/mm] (t/2+2t) von der Geraden
> > g2: y-3=0 oder g2:(0/1)x-3=0 (Normalenform)
>
> Ich hätte gedacht, ich würde die Entfernung erhalten,
> wenn ich den Punkt [mm]P_t[/mm] in die Hessische Normalenform
> einsetzen würde.
>
> (0/1)(t/2+2t)-3=0
> 2+2t-3=-1+2t=0
>
>
> Welchen Fehler habe ich gemacht?
Hallo,
Dein Hauptfehler ist, daß Du nicht die Formeleingabe verwendest, sondern es so besch...en aufschreibst, daß man sich kaum einen Reim drauf machen kann.
Wir hatten festgestellt, daß die Punkte auf [mm] g_1 [/mm] von der Gestalt [mm] P_t(t|2t+2) [/mm] sind.
Die Gleichung für die Gerade [mm] g_2 [/mm] mit Koordinatengleichung y-3=0 lautest in HNf [mm] \vektor{0\\1}*{x\\y}-3=0,
[/mm]
und den Abstand d bekommt man in der Tat durch Einsetzen des Ortsvektors von [mm] P_t [/mm] in diese Gleichung.
Es ist [mm] d=|\vektor{0\\1}*{t\\2t+2}-3|=|2t-1|.
[/mm]
Nun mußt Du den Abstand von [mm] P_t [/mm] zum Punkt P(0|4) ausrechnen.
LG Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:08 Do 07.02.2013 | | Autor: | abakus |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Welche Punkte auf g1: 2x-y+2=0 haben den gleichen Abstand
> vom Punkt P(0/4) und der Geraden g2: y-3=0
Hallo Feuerbach,
die Gerade g1 lässt sicht auch als y=2x+2 schreiben.
Ein Punkt (x,y) auf dieser Gerade hat von P den Abstand $\wurzel{(x-0)^2+(y-4)^2$
Da y=2x+2 gilt, wird daraus der Abstand $\wurzel{(x-0)^2+(2x+2-4)^2$ (was sich noch etwas vereinfachen lässt.
Der Abstand zwischen einem Punkt auf g1 und der Geraden g2 besteht einafch im Unterschied der beiden y-Koordinaten. Ein beliebiger Punkt (x,y) auf g1 hat die y-Koordinaten y (bzw. 2x+4), und jeder Punkt auf g2 hat die y-Koordinate 3. Der Abstand beträgt also |y-3| bzw.
|2x+2|-3.
Wenn der gesuchte Punkt also von P und von g2 gleich weit entfernt sein soll, muss $\wurzel{(x-0)^2+(2x+2-4)^2}=|2x+2|-3$ gelten.
(Formel korrigiert)
Löse diese Gleichung, dann hast du die x-Koordinate des gesuchten Punktes (oder der gesuchten Punkte).
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> Bei dieser Aufgabe habe ich zur Vorgehensweise keine
> Ahnung. Eine Zeichnung zur Besprechung der Vorgehensweise
> würde mir sehr helfen.
>
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Hallo Abakus ,
> [mm]\wurzel{(x-0)^2+(2x+2-4)^2=|2x+2|-3[/mm]
da hast du im Quelltext eine geschweifte Klammer
vergessen - deshalb wurde die Wurzel über die ganze
Gleichung gezogen - und einen Absolutstrich falsch gesetzt.
Richtig wäre:
[mm]\wurzel{(x-0)^2+(2x+2-4)^2}\ =\ |2x+2-3|[/mm]
Dein Lösungsweg entspricht im Übrigen genau dem ,
was ich früher schon vorgeschlagen hatte ...
LG , Al
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[mm] g_1: [/mm] y=2x+2
[mm] g_2: [/mm] y-3=0
[mm] d=\wurzel{(x-0)²+(y-4)²} [/mm] = [mm] \wurzel{5x²-4x+4}
[/mm]
[mm] =\left| y_1 - y_2 \right| [/mm] = [mm] \left|2x+2 \right|-3
[/mm]
Wegen der Betragstriche muß man eine Fallunterscheidung machen.
Ich konnte den Lösungsansatz ein wenig nachvollziehen. Bei der Lösung für die quadratische Gleichung erhalte ich
x²=-3 für x>0
4x²-14x-21=0 für x<0
Mein gewünschtes Ergebnis für x sind Elemente der natürlichen Zahlen. Aus den beiden Gleichungen erhalte ich keine natürlichen Lösungen.
Leider habe ich hier nicht herausfinden können, wie ich auf dieser noch so guten Seite den Formeleditor verwenden kann. Ich weiß auch gar nicht, ob dieser hier irgendwo vorhanden ist.
Vielleicht hätte jemand Zeit, mit die Benutzung des Formeleditors zu erklären, um mir die Kommunikation mit Euch zu vereinfachen. Leider erfordert es etwas Zeit und Geduld, mir diese Anwendung zu erklären. Ich weiß von Foren, bei denen ich mich bisher eingeschrieben hatte, daß diese Zeit meist nur bei wenigen vorhanden ist. Sollte es doch noch jemanden geben, der mit helfen könnte oder wollte, bin ich dafür sehr dankbar.
Vielleicht schafften wir es dann noch, meine Aufgabe besser zu lösen.
gruß,
Feuerbach
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> [mm]g_1:[/mm] y=2x+2
> [mm]g_2:[/mm] y-3=0
>
> [mm]d=\wurzel{(x-0)²+(y-4)²}[/mm] = [mm]\wurzel{5x²-4x+4}[/mm]
Hallo Feuerbach
Verwende bitte keine Tastaturexponenten , weil die
von Latex gar nicht erkannt werden.
Potenzen schreibt man mit dem ^ - Zeichen:
$\ [mm] x^2$ [/mm] $\ [mm] 8^{-\frac{2}{3}}$ [/mm] $\ [mm] e^{x^2-5x+1}$ [/mm] <--- auf die Formeln klicken !
Überprüfe deine Posts bitte vor dem Absenden, um
derartige und andere Fehler noch zu eliminieren !
Wir dürfen doch wohl hoffen, dass du schon gemerkt
hast, dass da so ein Vorschau-Button ist ...
Im Term unter der rechten Wurzel ist noch ein
weiterer Fehler.
> [mm]=\left| y_1 - y_2 \right|[/mm] = [mm]\left|2x+2 \right|-3[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Bitte alle Absolutstriche richtig setzen !
(auf diesen Fehler hatte ich schon hingewiesen)
Eine Fallunterscheidung kann man sich ersparen,
weil beim Quadrieren die Absolutstriche wieder
überflüssig werden.
LG , Al-Chw.
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